有趣的物理实验_滚动的正多边形物体.doc

有趣的物理实验——滚动的正多边形物体 刘建存 （南京师范大学 物理科学与技术学院，江苏 南京 210046） 摘 要：生活中的轮子都是圆形的，似乎给我们的印象是只有圆形的物体才能自由自在的滚动。本文通过对一个有趣的物理实验——滚动的方体进行观察，思考研究：是不是只有圆形的轮子才能自由的滚动呢？通过对不同形状的轮子的轨道进行理论分析，公式推导，得出正多边形稳定滚动的轨道方程。 关键词：有趣的物理实验；滚动；方体；悬链线 实验是物理学产生和发展的基础，是检验物理理论的唯一标准，在物理学的发展中有着巨大的意义和推动作用[1]阎金铎，郭玉英．中学物理新课程教学概论[M]．北京：北京师范大学出版社，2008:75-97． 。物理实验最重要的一个作用就是激发学生的兴趣和求知欲，而对于课程的拓展的趣味物理实验吸引了不少同学的关注。然而，对于这些趣味物理实验，原理上的解释似乎很少，远远不能满足对于物理爱好的同学的求知欲。在很多的校的实验室，都有滚动的方体的器材（如右图1）：一个近似半圆的轨道和一个方形的轮子。把轨道稍微倾斜，方体就能很顺利的滚下来。但对于这一现象的理论，没有多少人能够真正的明白，有的人甚至怀疑，方轮小车只能是个传说。其实，对这个物理实验的理论，在大学物理中有很好的解释[2]漆安慎，杜婵英．普通物理学教程力学[M]．北京：高等教育出版社，2005：214 -217． 。在此，我不再详述，本文主要讨论一下，是否只有正方形的轮子才可以滚动，对于其它形状的轮子，是否也能在一定形状的轨道上自由滚动。 1.正三角形轮子理论分析及其证明 1.1正三角形轨道公式推导 首先试探一下，三角形的轮子能否在轨道上滚起来。取正三角形DEF的分析（如图2），即一个直角三角形ABE.。假设底座和正方体滚动的一样，仍然是悬链线，在滚动过程中，BE边始终与悬链线相切，设切点为T，中心A点与T的连线与地平面垂直于P。要使正三角形轮子能自由滚动，中心位置应该不变。 作者简介：刘建存（1986- ），女，在职研究生，主要从事高中物理教学研究。 设AB=R，则AP=AB=R 取链座某尖槽处为坐标原点建立Oxy坐标系。按已知条件，取A至切点T连线并延长至P。它垂直于X轴。因中心A总保持同样高度。故AT+TP=R。用表示角位移。 因, 又令TP=y，有 （1） 因，又，故 得所求曲线方程 （2） 采用，（1）式变成 ，又有。 取 方程（2）变为 应用高数附录中的积分表积分[3]同济大学应用数学系．高等数学（第五版）[M]．北京：高等教育出版社，2002：349． 作者 刘建存 电邮箱1041485258@ ，得 ，. 回到原来变量y，有 ， （3） 理论得出的结果仍然是悬链线方程。 2.1正三角形理论证明 我利用几何画板中对所求的理论值进行了模拟，并做出实物的模型来证明。 模拟工具 几何画板是数学和物理等画图的常用工具，本文采用的是几何画板5.01版本。 模拟图像 如右图所示，我取R=4cm，则正三角形边长为12cm。做一个边长为12cm的正三角形，并画出三角形的重心，画出重心在一条直线上。 然后把R=4cm带入上面的方程（3），得出此时轨道方程变为 ，。 再由几何画板画出这个函数，如图4。 模型验证 我根据上面的数据，把图按1:1打印了出来，然后用硬纸板做了一个实物的模型，如图5。限于器材的原因，模型做的不是很好，样子不是很好看，但是用起来不错。把轨道放一个很小的斜坡上，正三棱柱能够很轻松平稳的向下滚动。足以验证上面的结论是正确的。 2.其它多边形轨道 根据上面的理论过程，我们同样可以得出任意正多边形的滚动轨道方程，设正多边形有n条边，取正n边形的分析，即一个直角三角形ABE.。这个图与三角形的很相似，如图6。在滚动过程中，BE边始终与底座相切，设切点为T，中心A点与T的连线与地平面垂直于P。要使正多边形轮子能自由滚动，中心位置应该不变， 设AB=R，则AP=AB=R 取链座某尖槽处为坐标原点建立Oxy坐标系。按已知条件，取A至切点T连线并延长至P。它垂直于X轴。因中心A总保持同样高度。故AT+TP=R。用表示角位移。因 , 又令TP=y，有  （4） 因，又，故得所求曲线方程