关于列向量组的秩和方程组解的个数问题的研究.docVIP

因为要考研，重新研究线性代数。做到李永乐全书435页3，4题时，总是很晕。后来干脆花大气力把它一类题弄懂。彻夜思考，研究出来的结论，作为笔记留下来，分享给大家。希望对你们有用： 书上有个定理是这样的：向量组a1,a2,...am线性相关的充分必要条件是它们所构成的矩A=(a1,a2,...am)的秩的个数小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。 事实上，判断一组列向量是否线性相关，最直观的就是看列向量的个数与列向量极大无关组的个数、即列向组的秩的大小关系。例如，列向量极大无关组为r个向量，即列向量的秩为r. 如果现在有sr个列向量，那么这一组列向量肯定是线性相关的。这是显而易见的。反过来，现在有m个列向量，如果列向量的秩m，那么肯定有这一组列向量线性相关。 现在的问题来了.这个定理上并没有判断列向量的秩，而是直接给出矩阵的秩，这是不是意味着矩阵的矩就能代表列向量组的秩呢？并且，在实际做题的时候，通过化行阶递形矩阵，我们能得到的是行向量的一个极大无关组，进而知道行向量组的秩，这是不是意味着行向量组的秩能代表矩阵的秩。进而，引申到一个最终的问题：Amxn阶矩，行向量组的秩与列向量组的秩相等？？？这个问题我想了很久，给不出有力的证明。但书上又有一个说法：任何一个mxn阶矩阵，总能通过实行变换变成一个r阶的单位阵，也就是说初等变换后行向量组的秩与列向量组的秩都是r。而书上又有，初等变换不改变矩阵的秩（其实质是不改变行向量组的秩，也不改变列向量组的秩），于是我们可以得知原来mxn的秩阵的m个行向量组的秩为r,n个列向量组的秩也为r。由此可知，在判断列向量组是否线性相关时，我们可以直接比较列向量的个数与行向量组的秩(矩阵的秩、列向量组的秩)。 这个理论的应用： 判断齐次方程Ax=0的解的个数问题： 当A是n阶矩阵(方阵)时，有结论|A|不等于0时，只有零解。这是很显然的，|A|不等于零意味着n个行向量和n个列向量都是线性无关的。而n个列向量线性无关就表示方程只有零解。 当A是mxn阶矩阵时，容易理解矩阵的秩（列向量组的秩）r一定小于或等于m,n个较小的一个。 当mn时，则r=m,所以一定有nr，而不用通过化阶递等方式去判断具体的r是多少。列向量的个数大于列向量组的秩，肯定有列向量线性相关。 当mn时，虽然一定知道同r=m，但不知道r与n的大小关系。所以这时候不能直接观察得出结论了，只有通过具体化简，矩阵化成行阶递形矩阵来看行向量组的秩（矩阵的秩、列向量组的秩）r。如果rn，则说明n个行向量有多余的，即n个列向量线性相关。也就是方程有非零解；如果r=n，则说明n个列向量线性无关。也就是齐次方程只有零解；按代数的观点来看，nm,r=m,还有可能rn呢。但矩阵的特性决定了不会有这样的情况。 判断非齐次方程Ax=b的解的个数问题：其中A(a1,a2…an) A是mxn阶矩阵，常见书上提到的判断方法是： a.若r(A)=r(B)=r=n则说明，b是可以由A矩阵的列向量组表示，而且唯一，也就是说非齐次线性方程组有唯一解。 b.若r(A)=r(B)n,则说明a1,a2…an中至少有一个多余的向量，而且b向量也是多余的向量。比如， 所以说，当r(A)=r(B)n时，有无穷多解。 当r(A)+1=r(B)时，方程无解。此时不管r(A)与n的关系。因为不管A的列向量是否线性相关，反正b是一个独立的向量，不能由列向量组表示。 这三种判断关系很明显，也很好理解。但事实上，常用来作考题的还有另外一种判断方法:r(A)=m=r。因为总能保证原矩阵与增广矩阵都是m行,所以当r(A)=m时，总有r(A)=r(B)(m个行向量线性无关，那么它的加上向量仍然线性无关)。又行向量的秩与列向量的秩相等，所以列向量的秩也为r，所以列向量b, 与系数列向量组线性相关。所以一定可以判断，b能由(a1,a2,…an)线性表现，即方程有解。但至于有多少个解，那就要看，列向量组自身是线性相关还是线性无关的。如果nm，那么系数列向量线性相关，由（a）的判断可知，此时有方程组无穷多解；如果n=m，那么系数列向量线性无关，由（b）的判断可知，此时方程组有唯一解。 有点不好理解，但如果真正理解了，线性方程组解的问题的判断就一通百通了。