关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题教学案例[曹文红].docVIP

关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例 湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红 问题背景 圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。 案例实录 创设情景，提出问题 师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面请大家看问题1：已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程。 问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。 自主探索，暴露思维 学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书： 生1：解：设直线与椭圆交点为，则有，， 两式相减，得：， 因为为中点，所以有： ， 所以，故所求直线的方程为，即 。 师：很好！先求直线斜率，过程非常简捷。同学们还有没有其他的方法？ 生2：有，显然直线斜率存在，设其斜率为，则所求直线方程为，联立椭圆方程消去并整理可得，由韦达定理求得，再求出直线的方程。不过这种解法计算量比较大，过程比较麻烦。 师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”。其中联立直线与椭圆方程消去（或）再由韦达定理求出虽然思路很清晰，但运算比较复杂，故一般情况下优先考虑“点差法”。那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？ 我们再来看看问题2：已知双曲线的方程为，问是否存在被点平分的弦？若存在，求出弦所在直线方程；若不存在，说明理由。 （片刻后）生3：（上台板书）解：假设存在被点平分的弦，设，则有 ，，相减得：， 因为为的中点，所以有： ， 所以，故所求直线的方程为。 师：还是用“点差法”先求直线斜率，过程和问题1完全类似。那么是否无论题目中是椭圆或者双曲线，对此类问题都是这样求解的呢？ 辨析错误，归纳结论 生4：老师，我通过画图，发现直线跟已知双曲线没有交点，是不是我画图不准确啊？不过我画了好几遍呢。会不会是这样的直线根本就不存在呢？ 师：真的是画图不准确吗？大家再换个角度想想看，除了画图外，我们还有没有别的办法来判断直线是否为我们要求的直线呢？ （片刻后）生5：可用“联立法”并结合来判断。我的解法是：假设符合条件的直线存在，则它显然不与轴平行，故可设其方程为：，代入双曲线方程化简整理得： ① 又设弦的两端点为，则是方程①的两实根， 由韦达定理有 ，可解得，但此时方程①中，说明直线与双曲线无交点，故被点平分的弦不存在。 师：很好！刚才两位同学都很善于思考：一位同学通过画图发现了直线与双曲线无交点；另一位同学用代数方法验证了所求直线与双曲线确实没有公共点，即符合题意的直线不存在，这就启示我们以后在解决直线与圆锥曲线位置关系的相关问题时，要注意运用对所求得结果进行检验。同学们再考虑一下，前面的问题1是否也需要验证？ 生6：需要。经过验证，成立，说明所求直线符合题意。 生7：可不需验证。因为点显然在椭圆内部，故过点的直线与椭圆必定有两个交点。 师：假如点在椭圆的外部呢？ 生7：这时点不可能是椭圆的弦的中点，这样的直线不存在。 师：问题2是否也可以不验证而只需通过点与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢？ （思考片刻后）生7：可以。如果点在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在，此时不需验证；如果点在双曲线的外部（如问题2），那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证。 师：归纳得很好，操作性很强。以后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。不过对于解答题，从考试得分的角度看，