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构造全等三角形证明竞赛题 江西　安义人 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。 与线段相等有关的竞赛题 例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证：AC＝AB。 简证：连AP。 因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA， 所以△PDA≌△PEA（HL）。 所以AD＝AE。 因为∠１＝90°－∠CAB＝∠２， 所以△ACE≌△ABD（AAS）。 所以AC＝AB。 　　　　　　　　　　　　　图１　　　　　　　　　　　　　图２ 例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝AD。 简证：延长BE、AC交于点F。 因为∠１＝∠２，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°， 所以△AEB≌△AEF（ASA）。 所以BE＝FE＝BF。 因为∠３＝90°－∠F＝∠２，BC＝AC, 所以△BCF≌△ACD（ASA）。 所以BF＝AD，BE＝AD。 与角相等有关的竞赛题 例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：∠ADF＝∠CDE。 简证：过点A作AG⊥AC交CF的延长线于点G。 因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC＝BC， 所以△CAG≌△BCD（ASA）。 所以AG＝CD＝AD，∠G＝∠CDE。 因为∠４＝45°＝∠５，AF＝AF, 所以△ADF≌△AGF（SAS）。 所以∠ADF＝∠G＝∠CDE。 图３　　　　　　　　　　　　　　　图４ 例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，AE＝（AD＋AB）。求证：∠ADC＋∠ABC＝180°。 简证：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F。 因为∠２＝∠３，AC＝AC， 所以△ACF≌△ACE（AAS）。 所以CF＝CE，AF＝AE。 因为AD＋AB＝２AE，AB＝AE＋EB， 所以EB＝AE－AD。 因为FD＝AF－AD， 所以EB＝FD。 所以△CEB≌△CFD（SAS）。 所以∠ABC＝∠5。 所以∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠５＝180°。 构造全等三角形巧证几何题 朱元生 全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。现略举几例加以说明。 一. 证线段垂直 例1. 已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证： 图1 分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。则为等腰三角形。再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。再由，，BD＝BD，得到。由全等三角形的对应角相等，得到，即。 二. 证线段的倍分 例2. 已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：BD＝2CE（湖北中考题） 图2 分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。由BE平分，，得到为等腰三角形。根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。再由，AB＝AC，，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD＝CF＝2CE。 三. 证角相等 例3. 已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证： 图3 分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。 四. 证角不等 例4. 已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。 求证： 图4 分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至E，使DE＝AD，连BE。由DE＝CD，，BD＝CD，得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以 五. 证线段相等 例5. 已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。求证：BF＝CG。 图5 分析与证明：要证BF＝CG，显然要构造三角形找全等。由ED垂直平分BC，连EB、EC，由垂直平分线性质可得，EB＝EC。又AE为的平分线，且，，根据角平分线