关于方程axlogax[a0,且a≠1]解个数问题.docVIP

PAGE  PAGE 6 实验作先导 理论作后盾 —— 对新课标下的一节“信息技术实验课”的展望 陈兆华 （江苏省苏州市教科院215007） 2005年普通高中课程标准实验教科书（必修）中增加了关于“函数与方程”这一节内容，旨在用观察函数图象来说明方程解的个数，可以认为这是新课标下的一种新的教学模式—— 信息技术实验课． 其江苏版的教科书“必修1”第80页中有这样一个问题： “例5 分别就a =2，a =和a =画出函数y = ax，y = logax的图象，并求方程ax = logax解的个数．” 按常规教学方法，本节课很难实施教学，主要是因为学生难以准确地作出这些图象，如当a =时，学生怎会知道y = ax的图象就与y = x有两个交点呢？那么，本节课应如何组织教学呢？ 建议分下面三个过程： 一、在想象中让学生充分暴露“主观错误” 若没有课本中的图象“暗示”，有很多学生常常通过以下的作图（主观想象）进行判断： 作出a 1时y = ax与y = logax的图象如图(1)所示，因它们没有公共点，所以当a 1时，方程ax = logax无解； 作出0 a 1时y = ax与y = logax的图象如图(2)所示，因它们只有一个公共点，所以当0 a 1时，方程ax = logax有且只有一解． 上述结果，看似正确，但这种主观想象以何保证呢? 如图(1)，难道y = ax的图象与直线y = x的图象一定没有交点吗? —— 让我们先通过实验来说明问题！ 二、在实验中让学生充分体会“客观事实” 用《几何画板》（或用Excel），作出一个参数a可变化的指数函数y = ax和对数函数y = logax图象，其参考作法如下： （1）打开《几何画板》，点“图表”中的“定义坐标系”，点“图表”中的“隐藏网格”； （2）在（左边）工具栏中点“点工具”，在平面内任意点一个“点A”，再点“度量”中的“纵坐标”，出现“yA= …”； （3）在工具栏中点“文本工具”，用标鼠左键双击“点A”，将对话框中的“A”改为“a”，再用标鼠左键双击“yA= …”；在对话框中输入“a”后确定； （4）在工具栏中点“选择箭头工具”，点“图表”中的“新建函数”，在对话框中，点刚确定的纵坐标“a”，再点“^ x”后“确定”，即得到； （5）点“图表”中的“新建函数”，在对话框中，点“函数”中“新建计算”上的“log”、“x”、“）”、“÷”、“log”、“a”后“确定”，即得到“”，它即为； （6）选中“”和“”，点“图表”中的“绘制函数”，即得到与的图象； （7）上下移动“点a”，观察两条曲线，总结当a从0到1依次变化及a再从1到+∞依次变化时，两条曲线的交点情况。 由于当a大于1而“趋近1”时，曲线y = ax 的“增长速度比较缓慢”，则y = ax的图象与直线y = x的图象有交点，立即发现开始的答案有问题．事实上，当a =时，过点(2，2)，又过点(4，4)，则曲线y = ax与y = logax有两个公共点（如图(3)所示），可见原来的认识确实错了． 不难发现，当曲线y = ax与y = x相切时，曲线y = ax与y = logax有且只有一个公共点(如图(4)所示)，由此可知，当a 1时，方程ax = logax的解可能有2个、1个或0个． 受以上启发，让我们再来仔细观察图(2)，即当0 a 1时，方程ax = logax解的个数，即课本中的“探究”问题． 由于0 a 1时，y = ax与y = logax均为减函数，当a无限“趋近0”时，两个函数的图象在x?(0，1)内曲率增大，即“弯曲程度变大”，用《几何画板》作图（为了使问题更加清楚，可将单位适当放大），这时我们会发现，两条曲线会出现三个交点（如图(5)所示），而不是学生通常想象中的只有一个公共点！由此说明，当0 a 1时，方程ax = logax的解可能有3个或1个． 通过以上实验，学生自然会感悟到数学中的“实验”原来也象物理、化学等学科中一样有着其重要性．对于此例，也不难得出：不同情况下的a，方程ax = logax解的个数有下列多种不同情况：0个、1个、2个、3个． 三、在研究中使老师充分认识“理论依据” 以上仅是从图形直观上，观察出了方程ax = logax (a0，且a≠1)解的个数．下面我们用代数方法推导说明它们的解的个数． 1．a 1时方程ax = logax 的解 先求如图(4)所示曲线y = ax与y = logax相切时a的值． 设曲线y = ax与y = logax相切于点M(x0，x0)，由于曲线y = ax在点M处的切线斜率为1， ∴ 即 ∴ 则 ． 即e = ，∴a = ．此时x0 = e． 以上说明，当a = 时，两条曲线y