概率论与数理统计练习与测试第5章南工大应用数学系编苏大版大数定律与中心极限定理.docVIP

概率论与数理统计练习与测试 第五章（南工大应用数学系 编）（苏大版） 大数定律与中心极限定理 1. 设随机变量x的方差为2.5。利用契贝雪夫不等式估计： 的值。 解：由契贝雪夫不等式：，又已知，故 。 2. 已知某随机变量x的方差Dx=1，但数学期望Ex=m未知，为估计m，对x进行n次独立观测，得样本观察值x1，x2，…，xn。现用 。 解：因又x1，x2，…，xn相互独立，故 ，根据契贝雪夫不等式，有 ，即，再由 。 设在由n个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为设m表示在这n次试验中遇到的开电次数，欲使开 电频率与开电概率p=0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n应该是多少？ 解：欲使，即，亦即，则t~N(0，1)且有 由，以p=q=1/2代入可得 n=16641。 P43T3 4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？ 解：用n步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n次射击的独立试验，令x表示n次射击击中目标的次数，则x服从参数为n，p=0.005的贝努 利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 ，查表得n≈1791。 5. 随机变量x表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n： 解：记，由于x~B(n，p)，故Ex=np，Eh=p，。 (1)根据契贝雪夫不等式，有 ，为使 ，解得 ； 以表示每次试验时A出现的次数，则服从参数为p的二点分布，且E=p，D=p(1-p)￡1/4，而是n个独立同分布的随机变量之和， 故由中心极限定理知，因此有 ，为使 。 P44 T5 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的 人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接 受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解：(1)以表示100人中治愈人数，则 ~b(100,0.8) 所求概率为 ； (2)依题~b(100,0.7) 则 。 7. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。 解：定义承机变量。则是独立同分布的，且， 。显然表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。此为n=10000，p=0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 。 8. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。 解：令则是服从参数n=50000，p=0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 。 9. 某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。 解：令则服从参数p=0.8的二项分布。且E=0.8，D=0.16，表示到会的总人数，则， 由中心极限定理得 。 P45 T7 10.由题意每次试验对总量不产生影响，设第i次试验Xi=1(长度小于3m)，Xi=0（长度大于3m） X为长度小于3m的总数 X=（求和号，1到100）Xi E(Xi)=1*0.2+0*0.8=0.2 D(Xi)=E(Xi2)-E(Xi)2=0.2-0.04=0.16 由独立同分布中心极限定理：X~N(n*u,n*σ2) (近似于)=N(100*0.2,100*0.16) P{X≥30}=1-P{X30}=1-φ[(30-20)/(