现代数学和中学数学意义2.doc

高等数学与中学数学结合的意义 内容提要 本文就中学教师对新课程中引入高等数学的一些看法，阐明高等数学与初等数学之间结合的意义，进而提高关于中学数学课程的教学目的、教材内容、教学方法的一些设想。 问题的提出 近些年来，重点高中的不少数学教师对新课程中新引入高等数学知识内容存在不少看法。如“现在学的部分中学数学好像与经典数学没有多大联系”。“学习高等数学内容对中学数学思维训练作用不大”。有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本不该用”等等。这些看法正如哲学家们早已指出的那样：“新的东西呈现，他们开始面对的问题好像同以往学过得东西一点也没有联系似的。当然他总是念念不忘以往学的东西。”但是身为教师，他们又突然发现，新的内容真正实用，有的只是难以考试，与经典内容有些许不同。如统计内容。要他们按传统的教法来教更新的高等数学，由于缺乏指导，他们需要联系当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是需要革新相沿成习的教学方法，要把他们自身所受的大学训练转化成为一种愉快的回忆，对他们的新课教学产生影响。 当然产生这些疑虑和误解的原因很多，笔者认为归纳起来主要有两个方面：一是中学老师对高等数学与初等数学之间联系的意义不明，认识不足；二是目前的中学数学课程在改革后教学目的、教材内容、教学方法等方面也确实存在一些很大的变化。如必修选修的改革，已经将高中教育方式向高等教育方式跨进了很大一步。 加强高等数学与中学数学联系的意义 事实上，“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系”。 高等数学是在中学数学的基础上逐步发展起来的，前者是后者的延续和补充，如《高等几何》、《高等代数》就分别是再《初等几何》、《初等代数》的基础上逐步发展起来的，初等数学中的一些思想方法至今仍在高等数学中起着非常重要的作用。而初等数学的研究对高等数学的发展也起了很大的促进作用，如通过对哥德巴赫猜想的研究，创造了许多深刻的方法，这些方法又促进了分析的发展。通过研究费马大定理，提出了素理想数，进???发展处理想子环的概念，促进了抽象代数的发展。所以，在中学阶段渗透高等数学为了高等数学的教育作了很好的铺垫。 高等数学的发展使我们对中学数学的认识更加深刻全面，如非欧几何的建立使人们对欧式几何的认识更加深刻；拓扑学的发展使人们认识到除了一般的度量空间之外还有许多特殊的空间。此外，在初等数学的发展中当时许多不能或不易解决的难题，运用高等数学的理论和方法已经得到圆满的解决，如高次方程求根问题以及数论中德一些猜想等都得到了圆满的解决，高等数学与初等数学在相互作用中得到共同发展。所以引进高等数学内容到中学数学教育当中，对能果断解决的中学数学问题给了中学生简快的答复。 学习高等数学可以帮助教师形成正确的数学观念，也可以帮助学生养成更宏观的数学观念。近些年来，许多数学教育家提出：数学教育的目的是培养学生的“数学观念“，把数学科学理解为一个巨大的相联系的整体应该说是”数学观念的核心”。 在中学数学中，代数、几何、三角、解析几何等各自分立门户，各有各得观点和方法，然而在需要运用数学知识解题时，却往往要综合运用各科知识，而学生长期习惯于分门别类的学习，往往错误地认为它们是各自孤立的学科，因而难以综合运用各门知识，可以说，这样的学生形成不了正确的数学观念。“尽管数学知识千差万别，但是在作为整体数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着亲缘关系。同时，在它的不同部分之间，也有大量相似之处”。如下面两个计算式和在中学里的出现是完全不相干的，两者的应用范围似乎也相差甚远。但事实上，两者可以说是同出一源，只要注意到，和就可以发现二者何其相似。事实上，大数学家莱布尼兹创立微积分，也就是利用了二者间的相似性。当然要看到这一点，没有较高的数学理论和观点是做不到的。这一点，中学数学教师可以引导学生，让学生认识数学的本质是逻辑的表达，是相通的。 “严谨性和量力性相结合”是数学教学的一条基本原则。作为合格的中学数学教师，只有学好高等数学，才能用高等数学的理论和方法去指导初等数学的教学和研究，教师只有站得高，才能看得远，只有做到心中有数，才能引导学生安全渡过艰难险阻。 高等数学比初等数学更广泛、深入、抽象、严谨，对于一些初等数学，只有用高等数学的知识才能理解清楚，如对于线性递归数列的通项公式的求解问题可根据差分方程、常系数线性微分方程以及母函数的知识来解决；对于实系数二元、三元多项式的因式分解问题，可以利用空间解几中二次曲线的理论来给出是否分解的差别准则和分解方法。中学数学中渗透高等数学内容不仅有助于学生成长，也在帮助教师成长。 加强高等数学与初等数学联系的设想 中学数学教育的培养目标是让学生具备一定的抽象思维能力，因此，其开设的课程的目的都是为了拓展学生的思维服务的，从教学目的、教学内容以及教学方法等方面均