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电路中相量分析法的基本依据 摘要：相量分析法是正弦稳态电路的一种分析方法。在此，阐述了相量分析法的意义及其基本依据的重要性。根据线性时不变系统的性质，证明了相量法的基本依据。 关键词：相量分析法；LTI系统 ；正弦信号 中图分类号： TM131.4 文献标识码：A 相量分析法的基本依据及问题的提出 在电路分析中，关于正弦稳态电路的分析方法，有时域分析法和相量分析法。时域分析法需要作三角运算，求解微分方程，十分繁琐。而相量分析法用相量（复数）表示正弦量，从而将正弦量之间的运算转化为相量（复数）的代数运算，大大简化了正弦稳态电路的分析。 因为相量只包含幅值和相位两个要素，无法反映频率的信息，如果稳态响应的频率有变化，则相量分析法就无法应用了。所以，应用相量分析法的基本依据是：在电阻、电感和电容构成的线性时不变电路系统中，如果激励是单一频率的正弦电压或电流，那么稳态时该电路中所有支路的电流，或任意元件上的电压，均是具有相同频率的正弦电流或电压，不同的仅仅是它们的幅值和相位。[1] 在中职院校《电工学》和大学《电路分析基础》课程中，大量使用了相量分析法，对这一方法的基本依据却并没有给予详细阐述和证明。本文利用线性时不变系统的性质，给出了相量法的基本依据（下称定理）的一种证明方法。 证明过程 电路分析中研究的电路系统，是由线性元件电阻、电感和电容组成，元件参数不随时间变化，是一个实际存在的线性时不变电路系统，它自然具有线性时不变系统（ linear time-invariant system，以下简称LT I系统）的各种性质。由信号与系统的理论，一个LTI系统可由它的单位冲激响应h(t)完全表征，且系统对任意信号e(t)激励下产生的零状态响应为e(t)和h(t)的卷积，用e(t)h(t)表示。[3] 下面，先给出LTI系统的两个性质： 性质1：一个实际物理存在的LTI系统，如果输入信号是一个复激励信号（即激励信号同时具有实部和虚部），则激励信号的实部产生响应信号的实部，激励信号的虚部产生响应信号的虚部。 证明：设激励信号为，其中和分别是e(t)的实部与虚部，则经过系统h(t)后的响应为y(t)。 这里用了卷积的分配律，其中和分别为响应y(t)的实部和虚部。 用右箭头“”表示一对激励和响应，上述结果可表述为： 则 性质2：LTI系统对复指数信号est(s是一复变量)输入的响应仍是一个相同的 复指数信号，只是幅度发生了变化。 证明：对于单位冲激响应为h(t)的LTI系统，若输入为x(t)= est ，s为一复变量(用表示)，系统响应y(t)， 右边积分是复变量s的函数，用H(s)表示它，于是有 y(t)= H(s)est，其中H(s)= 对于确定的LTI系统，即h(t)给定的情况下，H(s)仅与s的值有关。 在LTI系统这两条性质的基础上，可以给出前述定理及证明。 定理：线性时不变电路对一个正弦量的激励信号，电路中各支路的电压和电流的稳态响应是同频正弦量。[2] 证明：用一个“”符号表示一对激励和响应，则由性质2，在LTI电路系统中，est H(s)est，这个关系中，令，得到： （为实数） 对于确定的LTI电路系统，h(t)给定，仅与周期复指数信号的频率有关。由欧拉公式 =，是激励信号的实部，由性质1， 将表示成=，则上式变为 同理可证， 至此，说明一个LTI电路系统对一个频率为的正弦输入，系统响应也是同频率的正弦，输出正弦的幅度是输入的倍。输出正弦的相位???对输入偏移。 小结 本文从LTI系统的性质入手，证明了电路中相量分析法的基本依据。证明过程沟通了电路和信号系统课程之间的联系，加深了对相量分析法的理解，体现了信号与系统中分析问题的方法。