相似3角形竞赛试题.doc

阳光 HYPERLINK / 家教网 HYPERLINK HYPERLINK /西安家教 HYPERLINK /青岛家教 HYPERLINK /郑州家教 HYPERLINK /苏州家教 HYPERLINK /天津家教 中国最大找HYPERLINK /家教、做 HYPERLINK / 家教平台 第十六讲 相似三角形(二) 　　上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用． 　　例1 如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC． 　　分析 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件． 　　证 过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以 ∠2=∠3． 　　从而∠1=∠3，AB=BE．显然 △BDE∽△CDA， 　　所以 BE∶AC=BD∶DC， 　　所以 AB∶AC=BD∶DC． 　　说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证． 　　在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法． 　　例2 如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB． 　　分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB． 　　证 过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以 ∠BAE=∠CAE． 　　因为BG∥AC，所以 ∠CAE=∠G，∠BAE=∠G， 　　所以 BA=BG． 　　又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以 ∠ABF=∠HBF， 　　从而 AB∶BH=AF∶FH． 　　又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而 BH=AC， 　　所以 AB∶AC=AF∶FH． 　　因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以 　　AB∶AC=BE∶EC， 　　所以 AF∶FH=BE∶EC， 　　即 　　(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为 AM∶MB=FM∶ME． 　　在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以 △MEF∽△MAB 　　(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．)．所以 ∠ABM=∠FEM， 　　所以 EF∥AB． 　　例3 如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4． 　　 　　 　　　 　　即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决． 　　注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题． 　　证 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC． 　　设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则 ∠A+∠B+∠C=7α=180°． 　　由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以 ∠ACE=180°-4α＝3α， 　　所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α． 　　从而 ∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE． 　　又由作图 AE=AC，AE=BD， 　　所以 BE=BD， 　　△BDE是等腰三角形，所以 ∠D＝∠BED＝α＝∠CAB， 　　所以 △ABC∽△DAE， 　　所以 　　例4 如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH. 　　分析 要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC应该相似． 　　证 在Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以 ∠PBC=∠PHB=90°， 　　从而 ∠PBH=∠PCB． 　　显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以 　 　　由已知，BP=BQ，BC=DC，所以 　　因为∠ABC=∠BCD=90°，所以 ∠HBQ=∠HCD， 　　所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，