离散数学题型梳理_第1章.doc

离散数学常考题型梳理 第1章 集合及其运算 一、题型分析 本章主要介绍集合论的基本概念和结论，集合的运算及其性质，以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容．经常涉及到的题型有： 1-1 HYPERLINK /mod/resource/view.php?inpopup=trueid=425 \t _blank 集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系 1-2 HYPERLINK /mod/resource/view.php?inpopup=trueid=427 \t _blank 幂集的计算 1-3 HYPERLINK /mod/resource/view.php?inpopup=trueid=428 \t _blank 集合之间的运算 1-4利用集合运算性质证明集合恒等式 因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道： 1．集合与集合之间存在一种包含关系，当两个集合A和B存在关系A包含B，用AB表示，或存在关系B被A包含，用BA表示，这时称B为A的子集．注意空集是任意一个集合的子集，集合A也是自己的子集． 当B且BA，也就是说，只有BA或AB成立，则称B为A的真子集．若B不是A的子集，即BA不成立时，则称A不包含B，记作BA． 然而，元素与集合之间存在一种从属关系，当是集合中的元素，则称属于，记作；若不是集合中的元素，则称不属于，记作． 因此，这两种关系一定不要混淆． 2．由集合A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)或2A ．若集合A是由n个元素所组成的集合，则A的幂集由2n元素组成．当n=3时，A的幂集由23=8个元素组成． 例如，设集合A = {0, 1, 2 }，则A的全部子集由以下子集组成： 0元子集（即空集）：； 1元子集：{0}，{1}，{2}； 2元子集：{0, 1}，{0, 2}，{1, 2}； 3元子集（即集合A）：{0, 1, 2}． 因此，计算集合A的 HYPERLINK /mod/resource/view.php?inpopup=trueid=427 \t _blank 幂集时，首先要按照上述方法写出集合A的全部子集，然后检验写出的子集个数是否等于2n 个，其中n是集合A的元素个数． 图1 A B 3．集合之间的运算有并（）、交（）、差（-）、 补（~）和对称差（）等五种运算，在做集合运算的题 目时，一定要按照它们的定义进行计算． (1) 集合A和B的并集 A B 图2 或 特点：由集合A和B的所有元素组成的集合．见图1 (2) 集合A和B的交集 且 A B 图3 特点：由集合A和B的公共元素组成的集合．见图2 (3) 集合A与B的差集 特点：由属于A，而不属于B的所有元素组成的集合． A E ~A 图4 见图3 (4) 集合A的补集 ~A = 特点：由属于全集E但不属于集合A的元素组成的集合． A B 图5 见图4 补集总相对于一个全集而言，可以看作是全集E与集 合A的差集． (5) 集合A与B的对称差 A?B＝(A－B)?(B－A) 或 A?B＝(A?B)－(A?B) 特点：由分别属于集合A与B的元素但不属于它们公共元素组成的集合．见图5 (6) 把集合A，B合成集合A×B叫做笛卡儿积，规定 A×B＝{x, y?x?A且y?B} 注意：由于有序对x, y中x，y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A.． 笛卡儿积的运算一般不能交换.． 虽然，笛卡儿积的内容是第2章2.1.1目的内容，是二元关系的预备知识，但我们认为把它作为集合的一种运算考虑更好些。 4．教材1.2.2集合运算的性质给出的交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等的恒等式是证明其它集合恒等式、化简集合表达式的主要依据，正确运用这些恒等式是做好集合证明或化简题的关键．因此，大家要通过适当的练习逐步掌握这些集合运算性质． 二、常考知识点分析 常考知识点1： HYPERLINK /mod/resource/view.php?inpopup=trueid=425 \t _blank 集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系（历年考核次数：4次，本课程共考过6次；重要程度：★★★★） （2008年9月试卷第1题）若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}?A B．{2}?A C．{a}?A D．??A [解题过程] C 选项A，错了． 因为{a，{a}}是