立体几何中3角形的4心问题.doc

立体几何中三角形的四心问题 外心问题（若PA=PB=PC,则O为三角形ABC的 外心） 例1．设P是ΔABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，那么P在平面α内的射影是ΔABC的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角，且已知它们都相等. ∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO. ∴OA＝OB＝OC ∴应选B. 例2． Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为８０，M为AC的中点．（１）求证：PM⊥AC；（２）求P到直线AC的距离；（３）求PM与平面ABC所成角的正切值． 解析：点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点． 证明　（１）∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC 解　（２）∵BC＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０， ∴PM＝，即P到直线AC的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心， ∵∠C=90° ∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。 ∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影， 则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝ 例3．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 解析：∵A1A=A1B=A1C ∴ 点A1在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上 ∵ AB=AC ∴ AD⊥BC ∵ AD为A1A在平面ABC上的射影 ∴ BC⊥AA1 ∴ BC⊥BB1 ∴ BB1C1C为矩形，S=BB1×BC=156 取AB中点E，连A1E ∵ A1A=A1B ∴ A1E⊥AB ∴ ∴ ∴ S侧=396 二、内心问题（若P点到三边AB,BC,CA的距离相等，则O是三角形ABC的 内心） 例4．如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是ΔABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等，因而O是ΔABC的内心，因此选D. 说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握. A B D C P H F M G N 图2－24 三．重心问题（若PA垂直PB，PB垂直PC,PC垂直PA,则O是三角形ABC的 重心 ） 例6．如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求 解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。 证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M， ∴平面MNG∥平面ACD （2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知，∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD同理：NG＝AC，MN＝CD，∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，∴＝1：9 点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。 例7． 如图9－26，P为△ABC所在平面外一点，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC．（三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍） 解析：如图9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结DE．在ΔPAB中，∵ M是ΔPAB的重心，∴ ，同理在△PBC中有，在△PDE中，∵ ，∴ MN∥DE，∵ MN平面ABC，DE平面ABC，∴ MN∥平面ABC． 例9． 如图，在三棱锥S—ABC中，A1、B1、C