师范类复变函数论第三版钟玉泉PPT第3章.ppt

1 一、积分的定义 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 第三章 复变函数的积分 第一节 复积分的概念极其简单性质 2 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向. 分段光滑的简单闭曲线简称为周线. 3 2.积分的定义: 4 二、积分存在的条件及其计算方法 1. 存在的条件 证 参数增加的方向, ,正方向为 根据线积分的存在定理, 5 当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 在形式上可以看成是 公式 6 2. 积分的计算方法 在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的. 即 7 例1 解 直线方程为 这两个积分都与路线C 无关 例2 解 积分路径的参数方程为 8 例3 解 积分路径的参数方程为 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. 一个重要而常用的积分公式 9 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 绝对不等式 三、复积分的性质 10 例4 解 根据估值不等式知 11 一、问题的提出 此时积分与路线无关. 第二节 柯西积分定理 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 12 二、柯西积分定理 定理中的 C 可以不是简单曲线. 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立. 13 例1 解 根据柯西积分定理, 有 例2 证 由柯西积分定理, 由柯西积分定理, 由上节例4可知, 三、典型例题 14 例3 解 根据柯西积分定理得 15 (1) 注意定理的条件“单连通域”. (2) 注意定理的不能反过来用. 应用柯西积分定理应注意什么? 16 1.问题的提出 根据本章第一节的讨论可知, 由此希望将柯西积分定理推广到多连域中. 四、柯西积分定理的推广—复合闭路定理 2.闭路变形原理 17 得 18 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理 说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 19 3. 复合闭路定理 那末 20 4.典型例题 例1 解 依题意知, 根据复合闭路定理, 21 例2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, 22 例3 解 由复合闭路定理, 此结论非常重要,用起来很方便,因为 不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线 内即可. 23 例4 解 由上例可知 复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点. 常用结论: 24 定理一 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 1. 两个主要定理: 五、原函数与不定积分 25 定理二 证 利用导数的定义来证. 由于积分与路线无关, 26 由积分的估值性质, 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. [证毕] 27 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 3. 不定积分的定义: 定理三 (类似于牛顿-莱布尼兹公式) 28 证 根据柯西积分定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算. 4.典型例题 例1 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 29 例2 解 (使用了微积分学中的“凑微分”法) 例3 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 另解 此方法使用了微积分中“分部积分法” 30 例4 解 利用分部积分法可得 课堂练习 答案 例5 解 31 例6 解 所以积分与路线无关, 由牛顿-莱布尼兹公式知, 32 一、问题的提出 根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化 而改变,求这个值。 第三节 柯西积分公式及其推论 33 二、柯西积分公式 定理 证 此式称为柯西积分公式 34 证 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕] 35 (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (