2013初二下期末黄浦26题详解.pdf

例 2013 年黄浦区初二下学期期末第 26 题 如图 1，在正方形 ABCD 中，AB＝1，E 为边 AB 上一点（点 E 不与端点 A、B 重合）， F 为 BC 延长线上一点，且 AE＝CF，联结 EF 交对角线 AC 于点 G． （1）设 AE＝x，AG＝y，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； （2）联结 DG，求证：DG⊥EF． 图 1 满分解答 （1）如图 2，过点 E 作 EH//BC 交 AC 于 H，那么△AEH 是等腰直角三角形。 所以 HE＝AE＝CF，∠HEG＝∠F，∠EHG＝∠FCG。 所以△EHG≌△FCG。因此 GH＝GC。 由 AB＝1，AE＝x，可得 AC ? 2 ， AH? 2 x 。 11 所以 GH? CH ?( 2 ? 2 x ) 。 22 1 2 2 因此 y? AG ? AH ? GH ?2 x ? ( 2 ? 2 x ) ? x ? 。 2 2 2 定义域为 0＜x＜1。 图 2 图 3 （2）如图 3，联结 DE 、DF． 由 AD＝CD，∠DAE＝∠DCF＝90°，AE＝CF， 得△DAE≌△DCF．所以 DE＝DF． 由（1）可知△EHG≌△FCG，所以 EG＝FG． 根据等腰三角形的“三线合一”，得到 DG⊥EF．