30-2014年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛.pdf

中 等 数 学 20 1 4年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛 中图分类号：G424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2015)01—0030一o7 一 、填空题(每小题 5分 ，共 60分) 1．已知集合 A=1，2， )，B={yI y： 2， ∈ 则A NB=( )． (A) (B)t 2 t (c){1} (D) 2．设复数 ： (i为虚数单位)．则 c：0I4+c 0l4石+⋯+乙C2 o0I14彳2 4=( )． (A)2 咖 i (B)一2㈨ i (C)一2。伽 (D)一2 3．设双曲线 一告=1的一条渐近线与 抛物线Y= +1只有一个公共点．则双曲线 的离心率为( )． (A) 5 (B)5 (c)譬 (D) 4．在△ABC中，已知 、 B、／ C所 对的边分别为 口、6、c，且 1+ tan A=2 c ． 则 的大小为( )． (A)詈 (B)詈 (c)-丌y (D) 5．已知在三棱锥S—ABC内任取一点P，使 得 枷c寺 一 叼的 ( )． (A 7 (B 3 (c 1 (D)÷ 6．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有 两人，身穿蓝色衣服的有一人．现将这五人排 成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻． 则不同的排法共有( )种． (A)24 (B)28 (C)36 (D)48 7．图1为某几何体的三视图，其中正视 图是正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角 三角形．则该几何体的体积为( )． 困 团 正视图 侧视图 俯视图 图 1 ABCD平行 的直线 MN 图2 有( )条． (A)0 (B)l (C)2 (D)无数 9．设0 为( +3) (n≥2，且n∈N)的 展开式中 的一次项的系数．则 2 08 ·+ )=c ． 一l一十一十⋯十一lI -＼口，。01’ 。0，n0／ 、 ‘(A)18 (B)17 (C)一18 (D)19 10．已知直线 +Y—k=0(k0)与圆 + =4交于不同的两点 A、B，O为坐标原 点，且有 I + l≥ I I．则 k的取值范 围是( )． (A)(√l3，+∞) (B)[√_2，+∞) 2015年第 1期 3l (c)[ ，2 ) (D)[ ，2 ) 11．已知数列{a }满足 a =np“( ∈Z+，0p1)． 对于说法： ①当P=÷时，数列{口 }为递减数列； ②当÷p1时，数列{0 }不一定有最 大项； ③当0p÷时，数列{0 }为递减数列； ④当 为正整数时，数列 {口 }必有两 l— P 。 项相等的最大项， 正确的是( ) (A)①② (B)③④ (c)②④ (D)②③ 12．如图 3，在直角梯形 ABCD中，已知 A ．1-AD。AD=DC ： 1，AB：3，动点 D P在以点C为圆心 且与直线 BD相切 A B 的圆内运动．若 图3 AP= AD+卢AB(0[、 ∈R)， 则 + 的取值范围是( )． (A)(o， 4) (B)(0， 5) (c)(1， 4) (D)(1， 5) 二、填空题(每小题5分，共20分) l3．已知正三棱锥P—ABC，点P 、B、C均 在半径为 的球面上．若 PA、PB、PC两两互 相垂直，则球心到截面ABC的距离为一 14．已知函数 ={。 ? g( )=l 一k I+I 一1 1． 若对任意的 、 ：∈ R，均有f( )≤ g( ：)，则实数 k的取值范围是一 15．设 ( )= ， +。( ) ( ))， J+ 。 ’。’ =船是．则a2 014一． 16．设函数 )=kx，g( )=业 ． 若关 于 的方程 ( )=g( )在区间 1 ，e】内有 两个实数解，则实数 k的取值范围是— — ． 三、解答题(共7O分) 17．(1O分)在△ ABC中，设 A、 B、 C的对边分别为a、b、c，满足 acos C=(2b—c)COS A． (1)求 A的大小； (2)若 0= ，D为边 BC的中点，求AD 的取值范围． 18．(12分)如图4， 在三棱柱 ABC—AlB。Cl 中，已知 ．上底面ABC， AB上 AC，AC：AB=AA。， 、，分别为棱 BC、A．A 的中点，G为棱 CC．上 的一点，且 C ，∥平面 ，4EC． 图4 (1)求 的值； 乙 l (2)证明：EG j-A．C； (3)求二面角A 一AG—E的余弦值． 19．(12分)在某批次的某种灯泡中，随 机地抽取 200个样品，并对其寿命进行追踪 调查，将结果列成频率分布表如表 1．根据寿 命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级， 其中寿命大于或等于 500天的灯泡为优等 品，寿命小于300天的灯泡为次品，其余的灯 泡为正品． 32 中 等 数 学 表 1 寿命(天) 频