一.单项选择题（每题5分,共25分）.PDF

近世代数试题第  1 页 共  6 页 一.  单项选择题(每题 5分，共 25分)  1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（ ）.  A.    0                    B.    1                C.  －1            D.    1/n，n是整数  2、下列说法不正确的是（ ）.  A . G 只包含一个元 g，乘法是 gg＝g。G 对这个乘法来说作成一个群;  B . G 是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;  C . G 是全体有理数的集合，G 对普通加法来说作成一个群;  D. G 是全体自然数的集合，G 对普通加法来说作成一个群.  3.  如果集合 M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是(        ).  A . 反身性  B.  对称性  C.  传递性  D. 封闭性  4.  对整数加群 Z来说，下列不正确的是（ ）.  A.    Z没有生成元.  B.    1 是其生成元.  C.  －1 是其生成元.  D.    Z是无限循环群.  5.  下列叙述正确的是（ ）。  A.  群 G 是指一个集合.  B.  环 R 是指一个集合.  C.  群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在.  D.  环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. 近世代数试题第  2 页 共  6 页 二.  计算题(每题 10分，共 30分)  1.  设 G是由有理数域上全体 2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中 G中下列各个元素  1 2 1 3  , ,  0 1 0 1  c d cd     = =     −     ， 的阶.  2. 试求出三次对称群 { } 3  (1), (12), (13), (23), (123), (132) S = 的所有子群. 近世代数试题第  3 页 共  6 页  3.  若e是环 R的惟一左单位元，那么 e是 R的单位元吗？若是， 请给予证明.  三.  证明题(第 1小题 10分，第 2小题 15分，第 3小题 20分， 共 45分).  1.证明:  在群中只有单位元满足方程  2  . x x = 近世代数试题第  4 页 共  6 页  2.设G 是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：  : 2 n  b  n  a ϕ g a 是群G 到G 的一个满同态，其中  , a b是整数，而 ( ,2) 1 ab = .  3.设 S 是环 R的一个子环.证明:  如果 R与 S 都有单位元，但不相 等，则 S 的单位元必为 R的一个零因子. 近世代数试题第  5 页 共  6 页 答案标准 一、单项选择题(每题 5分，共 25 分)  1. A  2.  D  3. D  4 . A  5 . C  二.  计算题(每题 10 分，共 30 分)  1.  解： 易知  c的阶无限，  (3 分)  d的阶为 2.  （3 分） 但是  1 1  ,  0 1  cd   =   −   （2 分） 的阶有限，是 2.  （2 分）  2.  解：  3 S 的以下六个子集 { } { } { } 1 2 3 (1) , (1), (12) , (1), (13) , H H H = = = { } { } 4 5 6 3 (1), (23) , (1), (123), (132) , H H H S = = = （7 分） 对置换乘法都是封闭的，因此都是  3 S 的子集. （3 分）  3.  解：  e是 R 的单位元。 事实上，任取  , , a b R ∈ 则因 e是 R 的左单位元，故  ( ) ( ) , ae a e b a eb ab eb ab ab b b − + = − + = − + = 即  ae a e − + 也是R 的左单位元。故有题设得  , . ae a e e ae a − + = ∴ = 即  e是 R 的单位元. 三、证明题(每小题 15 分共 45 分)  1． 证明： 近世代数试题第  6 页 共  6 页 设 e是G 的单位元，则e显然满足所说的方程 （3 分） 另外， 设a G ∈ 且  2 a a = ，则有  1 2 1  , a a a a − − = 即  , a e = （5 分） 即只有e满足方程  2  . x x = （2分） 2. 证明： ϕ 显然是G 到G 的一个满射 （3 分） 又由于 当 ( , 2) 1 , ( , 2) 1 ab cd