一类Duffing方程周期解的存在唯一性_李宇尘.pdf

第39卷第3期 2016年9月 南京师大学报（自然科学版） JOURNAL OF NANJING NORMAL UNIVERSITY（Natural Science Edition） Vol. 39 No. 3 Sept，2016 doi：10.3969/j.issn.1001-4616.2016.03.003 一类Duffing方程周期解的存在唯一性 李宇尘，张康群 （南京工程学院数理部，江苏南京 210003） ［摘要］ 讨论了 Duffing方程周期解的存在性和稳定性问题 .文中用不同的方法给出的结论比 Lazer和McKenna［1］ 的更灵活和方便，且文献［1］的结论是本文的特殊情形，并给出了界的精确公式 . ［关键词］ 周期解，存在性，唯一性，Duffing方程 ［中图分类号］O175.14 ［文献标志码］A ［文章编号］1001-4616（2016）03-0016-06 The Existence and Uniqueness of Periodic Solution to a Class of Duffing Equations Li Yuchen, Zhang Kangqun （Department of Mathematics and Physics，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China） Abstract：This paper is to study the problem of the existence and uniqueness of periodic solution to Duffing equations， using different method to make the conclusion more flexible，and the conclusion of ref.［1］is the special case of this pape. Also，it gives the precise formula about the bound. Key words：periodic solutions，existence，uniqueness，Duffing equations 在 Lazer和 McKenna的文献［1］中，考虑了 Duffing方程 u″ + cu′ + g(t, u)= 0 （1） 的周期解，其中，c 0是常数，g和它关于第二个变量的偏导记为 g′x，是连续的，且 g关于 t是 T-周期的， 其中，T 0 .文中在如下形式的条件 a≤ g′x(t, ξ)≤ b （2） 下得到了方程（1）的 T-周期解 u0的存在唯一性，且 u0是局部指数渐近稳定的 . 指数渐近稳定的定义 如下： 定义 1 设 u是另一个解，当存在常数 C 0和 α 0使得 ||u(0)- u0(0) 和 ||u′(0)- u′0(0) 充分小时，则 ||u(t)- u0(t) ≤Cde-αt， ||u′(t)- u′0(t) ≤Cde-αt，对 ∀t 0成立， 其中， d = ||u(0)- u0(0) + ||u′(0)- u′0(0) ， 则称 u0是指数渐近稳定的 . 当 k = 0时，这个方程的 T-周期解存在唯一性已经在一些文章中考虑过 .这种情况下，如果存在整数 N≥0，使得 (2nπ)2 T 2 a≤ b [2(n + 1)π]2 T 2 以及（2）成立，则方程存在一个唯一的 T-周期解，这是 Loud［2］的经 典结果 .通过附加某种对称性条件和 Leach在更一般情形下的工作，Dolph［3］证明 Loud-Leach的结果都能 从一个关于 Hammerstein积分方程的定理中得出 . 收稿日期：2015-12-10. 基金项目：国家自然科学基金天元基金项目、南京工程学院科学研究基金（YKJ201339）. 通讯联系人：李宇尘，博士，讲师，研究方向：偏微分方程 . E-mail：yuchenli@njit.edu.cn -- 16 李宇尘，等：一类 Duffing方程周期解的存在唯一性 文献［1］中的主要定理如下： 定理 1［1］ 设 c ∈R，g(t, x)对 ∀(t, ξ) ∈R2上有定义且连续，且 g关于 ξ的偏导数为分段连续，g关于 t 是 T-周期的，T 0 .如果存在常数 a和 b使得 a≤ g′x(t, ξ)≤ b，对 ∀(t, ξ) ∈R2成立，和在复平面中存在一个 以 γ = a + b2 为中心，半径 r b - a2 的闭圆盘 B，使得 4π2n2 T 2 - 2πinc T ∉B, ∀n = 0, ±1, ±2, …， （3） 则存在唯一的 T-周期解