一道数学竞赛题的证明、应用与推广.pdf

第 ??卷 第 ?期? 大? 学? 数? 学? ? ??．??，№ ．?? ????年 ??月? ????????? ??? ?? ?????? ???．????? 一 道数学竞赛题 的证 明 、应 用与推广? 杨? 威? ?合 肥 工 业 大 学 数 学 学 院 ，合 肥 ???????? ?摘 要?介 绍了一道高等数学竞赛题的五种证明方法并举例说 明其应用 ，另外介绍 了其推广? ?关 键 词 ?竞 赛 题 ；一 题 多 解 ；?????定 理 ；应 用 ；推 广? ?中图分类号?????? ?文献标识码??? ?文章编 号? ????—????????????一??????—??? ?? 竞 赛 题? 东南 大学 ????年 高等数 学 竞赛 的第 五题 ????是? 设 函数 ，???在 ?日，??上 连续 ，在 ??，??内二 阶可 导 ，证 明 ：对 每个 ?∈ ??，??，存 在?∈ ?“，??，使 得? ?口一????—???’???一日???一???’???—????一????丢??代?．’? ????? 本 文首先 介绍 这道 试 题 的 五 种 不 同证 法 ，然 后举 例 说 明此 试 题 的某 些 应 用 ，最 后 再 介 绍 这 道 试 题 的? 推 广．? 注? 本题 多次 被选 为研 究生 入学 考试 、各种 竞赛 题 ，如 ????年 四川大学 研 究生人 学试 题 ，中 央财经? 大学 ????年高等数学竞赛试题 ：设函数 厂???在 ?口，??上存在 ，?? ?? ?，证明：在 ?口，??内存在? ，? 使得? ? ?? ?? ：? ?．? 口一 ????— ?? 。??一 ????一 ?? 。 ??一 口???一 ??? ?? ? 试 题 的 五 种 证 明? 证 法 ??? 构 造 辅 助 函 数 法 ．构 造 辅 助 函 数? ??．??一 ，???一? ??一????— ??一? ??? ????— ??? 一 ? ??? ????一 ??，? 则 ????在 ?口，??上连 续 ，在 ?口，??内二 阶 可导 ，且有 ??????：????一 ????一 ?．由 ?????定 理知 ，存在? 矗 ∈ ?口，??，? ∈ ??，??，使 得 ???? ?一 ???已?一 ?，再 由 ?????定 理 知 ，存 在? ∈ ??，??? ??，??，使? ???一 ?．即? ?口一 ???口一 ???。???一 ????一 ???‘???一 口???一 ???一??厂? ’．? ????? 证 法 ? 构 造 辅 助 函 数 法 ．构 造 辅 助 函数? ?收稿 日期? ????—??—??；? ?修 改 日期?????—??～??? ?作者简 介?杨威 ??????一?男 ，硕士 ，讲师 ，主要从事高等数学教学 与研究 、数据加密 、股票