关于Arnold变换的周期性.pdf

第 卷 第 期 北 方 工 业 大 学 学 报 年 月 关于 变换的周期性 孙 伟 北方工业大学 研究中心 , , 北 京石景 山 摘 要 讨论 了 变换的周期性 在周期性 定理 的理论基础上 , 对离散情形 用 编程验证 了其 周期性 并计算出在不 同阶数 下 变换的周期 关桩词 矩 阵 变换 周期性 分类号 , , , , , , 变换是 在遍 历理论 的研 究中提 出的 将其应 用 在 数字 图像 上 , 可 以通过像素坐 标的改变而 转移图像灰度值的布局 把数字 图像看作 一个 矩 阵 , 那么反 复使 用这种变换 , 则使矩 阵中的元 素排列 “ 混 乱不 堪 ” 若 将变换 作 用 于 数 字 图像 , 则 会 使该 图 像变得 “ 面 目全 非 ” 然而 , 这种 “ 混乱 ” 局 面并 不会永 久地 维持 下 去 , 只要 不 断 的迭代 下去 , 必 然会 出现 一 幅与原 图相 同的图像 , 也就是说 , 对 数 字 图像 来说 , 这 一 迭代过 程 一 定 呈 周 期现象 而这种周期现象所遵循 的规律 、 周 期大小可借助 计算机 编程来验证 收稿 日期 一 一 作者简介 孙伟 , 岁 研 究生 研 究方 向 计算机 图形 图像和虚拟 现实 北 方 工 业 大 学 学 报 第 卷 变换的周 期估值定理 定义 设 有单位 正方形 上 的点 , , 将点 , 变到 另一 点 , 的变换 为 二一 【」二」‘ 。“ , 此变换 称作 变换 在 计算机 上 显 示 一 幅画 面 , 实际上 就是 将构 成 画 面 的像 素点 上 的 灰 度 及 颜 色 的 数 值 组成 一个 图像矩 阵 , 即 由像素点决 定 的二 维离散 点 阵 这 个 点 阵 的点 的坐 标 和 用 整 数 , , , , ? , 一 表示 , 运 算按 进 行 , 于是 式可改写 为 一 , , , , , , 一 ,’【 , 。 ? ‘ 式 中采 用 整 数 坐 标 , 这样 可 以控 制舍 入 误 差 从 式给 出一个迭 代算法 愁 ’ 苏 , , , , ? 其 中 , 式 , , , 任 , , , ? , 一 , 上 标表 示迭 代次数 , 即 为 式 右端 的矩 阵 式 所 示 的此 迭 代过 程 呈 现周 期现象 关 于 其周期 的大 小 , 有如 下估计