关于两周期函数之和的最小正周期问题.pdf

· 34· 中学数学月刊 2005年第2期 隐藏对象”，再隐藏相关辅助线，得到截面图． 说明：在以上图形中可随意拖动点E， F，G点(或使用动画按钮)来改变截面的位 置及形状，但上述作图方法不能得到与棱平 行的截面图．仿照该作图原理可以作出平行 于棱的平面截正方体所得截面．具体作法如 下： (1)按照斜二测画法作水平放置的正方 体直观图； (2)作直线BB 、直线AB，在直线AB上 取一点E，在直线BB 上取一点F，作直线 EF； (3)选取点E与直线AB，单击“编辑／ 操作类按钮／动画”，并用文本工具修改为 “移动点E”，同样得到按钮“移动点F”； (4)隐藏点E，F； (5)移动直线 EF，作直线 EF与线段 AB的交点，并过交点作与线段BC平行的直 线且作出其与线段CD的交点； 移动直线EF，作直线EF与线段 的 交点，并过交点作与线段BC平行的直线且 作出其与线段DD 的交点； 移动直线EF，作直线EF与线段BB 的 交点，并过交点作与线段BC平行的直线且 作出其与线段CC 的交点； 移动直线 EF，作直线 EF与线段 B 的交点，并过交点作与线段BC平行的直线 且作出其与线段C D 的交点． (6)移动直线EF到不同的位置，观察过 直线EF且与棱BC平行的平面与各棱的交 点，按顺序选取这些点，单击“作图／多边形 内部”作出截面图．共应作出6个平行四边 形． (7)显示点E、点F，隐藏相应的辅助线 与点． 关于两周期函数之和的最小正周期问题 孙亦器 (浙江省衢州第二中学 324000) 两函数 (z)，fz(z)的最小正周期分别 1 1 为T ，T ，当 I 1为有理数时，和函数 (z)一 』 2 (z)+f2(z)的最小正周期是什么? 文[1]提出了如下的最小公倍数法： 先求出 (z)，f2(z)的最小正周期丁 ， 丁 的最小公倍数丁(此处指丁同时为丁 ，丁 11 的正整数倍中之最小数)，然后再验证÷(正 11 — 1，2，3，⋯)是否为 (z)的周期，若÷是 11 (z)的周期，而 不是 (z)的周期，则 11 ÷是 (z)的最小正周期． 然而，这一方法并不可靠． 反例： (z)一sin 10x—sin 3x，T1= 2n，fz(z)一sin 3x，T2一 ，T1，T2的最小 公倍数T一2n． 和 函数 (z)一 f (z)+ fz(z)一 sin 10x，最小正周期T 一÷． 这里 一兀g f(z)的周期， T一 不 11 是 (z)的周期，但 并不是 (z)的最小正 周期． 此反例也说明了文E23曾“证明”的结论 “当丁 ≠丁 时， (z)的最小正周期是丁 ，丁 的最小公倍数”也不正确． 文E33证明了：当T 一pa，T 一qa(p，q 是互质的自然数．a为正实数，且户≠g)时， (z)的最小正周期为pqa或 ( 正≥ 1， ，正是自然数，( ，kpq)一1)． 实际上，我们可证明这里正一1，即有： 定理1 若两连续函数f (z)， (z)的 最小正周期分别为T 一pa，T 一qa(p，q∈ N ，(户，g)一1，口为正实数，且户≠g)，则 (z)一 (z)+ (z)的最小正周期为 维普资讯 2005年第 2期 中学数学月刊 ·35· (，2∈ N‘，且(，2，g户)一 1)． 证明 若 ‘是厂(z)的最小正周期，则 厂(z)的任何正周期必是 。的正整数倍． 易知pqa是 (z)的一个正周期，故pqa — ’( ∈N。)，结合文[3]的结论，知 一 kpqa ．k 一，2，k 又(愚，，2)一1， H lf‘ 故k一1，所以T 一 ，(，2，Pq)一1． 对于具体的函数 ( )， (z)来说， 的 确定并不容易，也无一般方法，因而定理1用 起来不太方便．如果我们对f (z)，f2(z)增 加一些限制条件，那么厂 )的最小正周期可 以是周期 ， 的最小公倍数． 定理 2 在公共定义域D上，奇函数 f (z)的最小正周期为 ，偶函数f2(z)的 个 最小正周期为 ，且 为有理数，则厂(z)一 2 f (z)+f2(z)的最小正周期是 ， 。的最 小公倍数． 11 证 由 a 1为有理数，我们可设 2 T1一 pa，T2一 qa，这里 P，q∈N。，且 (户，g)一 1，口∈ (O，+ 。。)． 对于任何的z∈D，有 f(z+pqa) 一 f1(z+pqa)+f2(z+pqa) 一 f1(z+qT1)+f2(z+pT2) 一 f (z)+厂2(z)一厂(z)， 故厂(z)是周期函数， ， z的最小公倍 数pqa是它的一个周期． 再设 (≠O)是厂(z)的任一周期，那么 对于任意的z∈D，都有f(x+ )一厂(z)， 即 厂1(z+ )+f2(z