北京交通大学2013年非数学专业大学生数学竞赛试题及解答.pdf

北京交通大学 2013 年非数学专业大学生数学竞赛试题 （2013 年 6 月 22 日晚 7：00—9：30） 学院与班级 学号 姓名 联系方式 一、填空题（每小题 5 分，满分 30 分） x2 ? cos x ? e 2 1．极限 lim = 。 x→0 x 2 [2x + ln(1? 2x)] ? 2u ? 2u 2．设函数u(x, y) 的所有二阶偏导数都连续， = 且u(x,2x) = x ，ux′( ,2 x )= x2 ， ?x 2 ?y 2 1 则 ， 。 u11′′ ( xx 2)= 3．设 fx()在 x = 0 的某个邻域内具有二阶导数， ff(0)= 1,′ (0) = 0, f ′′ (0) = ? 1 ，对 x ????a ?a ∈(,) ?∞ +∞ ，求 lim ??f ??= 。 x→+∞ ????x ? +∞ x e x 4．计算定积分 d x = 。 ∫ ? 2 0 (1+ e x ) ∞ 1 ． = 5 ∑ 2 n 。 n=2 (n ? 1)2 y (x + y) ln(1+ ) 6．计算 x dxdy = ____________，其中区域 D 由直线 x + y = 1 与 ∫∫D 1? x ? y 两坐标轴所围成三角形区域. 二、（本题满分 10 分）设函数 f (x)具有二阶连续导函数，且 f (0) = 0, f ′(0) = 0, f ′′(0) 0 。 在曲线 y = f (x)上任意取一点 (x, f (x))(x ≠ 0) 作曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距记作 xf (μ) μ ，求 lim 。 x→0 μf (x) ? ydx + xdy 三．（本题满分 10 分）计算 I = ，其中 L 为 x + x + y = 1正向一周。 ∫L x + x + y 四、（本题满分 10 分）计算曲面积分 I = ∫∫ xz 2 dydz ? sin xdxdy ，其中 Σ 是曲线 Σ ??y = 1+ z 2 ? (1 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的旋转面，其法线向量与 z 轴正向的夹角为锐 ??x = 0 角。 x 2 y 2 五、（本题满分 10 分）设 S 为椭球面 + + z 2 = 1的上半部分，点 P(x, y, z) ∈ S ，π 为 2 2 S 在点 P 处的切平面， ρ(x, y, z) 为点O(0,0,0) 到平面π 的距离，求 ∫∫ z3ρ(, x y ,) z dS 。 S 1 1 2 六、（本题