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北京交通大学2013年非数学专业大学生数学竞赛试题及解答.pdf
北京交通大学 2013 年非数学专业大学生数学竞赛试题
(2013 年 6 月 22 日晚 7:00—9:30)
学院与班级 学号 姓名 联系方式
一、填空题(每小题 5 分,满分 30 分)
x2
?
cos x ? e 2
1.极限 lim = 。
x→0 x 2 [2x + ln(1? 2x)]
? 2u ? 2u
2.设函数u(x, y) 的所有二阶偏导数都连续, = 且u(x,2x) = x ,ux′( ,2 x )= x2 ,
?x 2 ?y 2 1
则 , 。
u11′′ ( xx 2)=
3.设 fx()在 x = 0 的某个邻域内具有二阶导数, ff(0)= 1,′ (0) = 0, f ′′ (0) = ? 1 ,对
x
????a
?a ∈(,) ?∞ +∞ ,求 lim ??f ??= 。
x→+∞ ????x
?
+∞ x e x
4.计算定积分 d x = 。
∫ ? 2
0 (1+ e x )
∞ 1
. =
5 ∑ 2 n 。
n=2 (n ? 1)2
y
(x + y) ln(1+ )
6.计算 x dxdy = ____________,其中区域 D 由直线 x + y = 1 与
∫∫D 1? x ? y
两坐标轴所围成三角形区域.
二、(本题满分 10 分)设函数 f (x)具有二阶连续导函数,且 f (0) = 0, f ′(0) = 0, f ′′(0) 0 。
在曲线 y = f (x)上任意取一点 (x, f (x))(x ≠ 0) 作曲线的切线,此切线在 x 轴上的截距记作
xf (μ)
μ ,求 lim 。
x→0 μf (x)
? ydx + xdy
三.(本题满分 10 分)计算 I = ,其中 L 为 x + x + y = 1正向一周。
∫L x + x + y
四、(本题满分 10 分)计算曲面积分 I = ∫∫ xz 2 dydz ? sin xdxdy ,其中 Σ 是曲线
Σ
??y = 1+ z 2
? (1 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的旋转面,其法线向量与 z 轴正向的夹角为锐
??x = 0
角。
x 2 y 2
五、(本题满分 10 分)设 S 为椭球面 + + z 2 = 1的上半部分,点 P(x, y, z) ∈ S ,π 为
2 2
S 在点 P 处的切平面, ρ(x, y, z) 为点O(0,0,0) 到平面π 的距离,求 ∫∫ z3ρ(, x y ,) z dS 。
S
1 1 2
六、(本题
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