历年全国大学生数学建模竞赛-题目(1994-2009).pdf

1994 年全国大学生数学建模竞赛 A 题 逢山开路 要在一山区修建公路, 首先测得一些地点的高程, 数据见表 1。(平面区域 0 ≤x≤5600,0≤y≤4800,表中数据为坐标点的高程, 单位:米).数据显示:y=3200 处一东西走向的山峰; 从坐标(2400,2400) 到 (4800,0) 有一西北 --- 东南走 向的山谷;在(2000,2800) 附近有一山口湖, 其最高水位略高于 1350 米, 雨季 在山谷中形成一溪流.经调查知, 雨量最大时溪流水面宽度 w 与(溪流最深处) 的 x 坐标的关系可近似表示为 w(x)=((x-2400 3/4 )/2 ) + 5 (2400≤x≤4000). 公路从山脚 (0,800) 处开始, 经居民点 (4000,2000) 至矿区 (2000,4000).已 知路段工程成本及对路段坡度α (上升高程与水平距离之比) 的限制如表 2. 1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥 梁、隧道), 并估算该方案的总成本. 2) 如果居民点改为 3600≤x≤4000, 2000≤y≤2400的居民区, 公路只须经 过居民区即可, 那么你的方案有什么改变. B 题 锁具装箱 某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4,5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数.由于工艺及其它原因,制造锁具 时对 5 个槽的高度 还有两个限制:至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不 能为 5.满足以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一批.出来的所有互 不相同的锁具称为一批.从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中一把钥匙 开一把锁. 但是在当前工艺条件下,对于同一批中两个锁具是否能够互开, 有 以下试验结果:若二者相对应的 5 个槽的高度中有 4 个相同,另一个的高度差为 1, 则可能互开;在其它情形下,不可能互开.原来,销售部门在一批锁具中随意地取 每 60 个装一箱出售.团体顾客往往购买几箱到几十箱,他们抱怨购得的锁具会 出现互相开的情形.现聘聘请你为顾问,回答并解决以下问题: 1) 每一批锁具有多少个, 装多少箱. 2) 为销售部门提供一种方案, 包括如何装箱(仍是 60 个锁具一箱),如何给 箱子以标志, 出售时如何利用这些标志, 使团体顾客不再或减少抱怨. 3) 采取你提出的方案, 团体顾客的购买量不超过多少箱, 就可以保证一定 不会出现互 4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度 (试对 购买一、二 箱者给出具体结果). 1995 年全国大学生数学建模竞赛 A 题 一个飞行管理模型 在约 10,000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机 作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞 行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算 并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架 (包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下: 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里; 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度; 3) 所有飞机飞行速度均为每小时 800 公里; 4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在 60 公 里以上; 5) 最多需考虑 6 架飞机; 6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据 进行计算(方向角误差不超过 0.01 度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域 4 个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。