同伦分析方法_研究背景和现状_廖世俊.pdf

中国热点论文分析 中中国数学研究热点论文特约稿国数学研究热点论文特约稿 廖世俊 上海交通大学 上海 200240 E-mail: sjliao@ 1 研究背景 参数所确定，常常不易求解。此外，当原始方程的最高 自然科学和工程中的大部分问题都是非线性的，其 导数项正好与物理小参数相乘时，高阶摄动方程的阶数 求解比线性问题要困难得多。高性能计算机的出现，大 比原始方程的小，从而出现剩余的初、边值条件，导致 大提高了人类求解复杂非线性问题的能力，使得数值计 所谓的“奇异性”问题。特别是，摄动级数一般都无法 算和模拟成为目前广泛使用的手段。但数值计算也存在 确保其收敛到原始方程的解，且绝大多数摄动解仅当物 其局限性，特别是在处理无限区域、多解、奇性等方面 理小参数取值很小时有效。所以，从方法论角度而言， 颇为困难。而解析近似方法在处理无限域、多解、奇性 摄动方法不满足上述三个评判标准。这些局限性大大限 等方面具有较大的优势。因此，解析近似方法与数值计 制了摄动理论的应用范围，是摄动方法通常仅适用于弱 算方法一样，具有重要的科学价值，一直得到国际学术 非线性问题的根本原因。 界的高度重视。 为了克服摄动方法的上述局限性，国外学者提出 几乎所有的传统解析近似方法都将一个非线性问题 了一些“非摄动方法”，如一个世纪前俄罗斯数学家 以某种方式转化为一系列线性子问题，并用这些子问题 李雅普诺夫(Lyapunov)提出的人工小参数方法和上世纪 之解的线性组合逼近原始非线性问题之解。因此，对一 60年代法国数学家Adomian提出的分解法。李雅普诺夫 个解析近似方法之优劣可用如下三个标准来评判： 人工小参数方法将原始方程之非线性项乘以一个没有 (1)是否总能将任意一个非线性问题转化为一系列线 物理意义的人工小参数，然后按传统摄动方法获得摄 性子问题？ 动近似解，再令该人工小参数为 1 以获得解析近似。 (2)线性子问题是否总能方便地求解？ 显然，李雅普诺夫人工小参数方法仅满足上述评判标 (3)是否能保证线性子问题解的线性组合总能逼近原 准(1)。Adomian分解法可以将任何一个非线性方程转 始非线性问题？ 化成一系列线性子问题，也满足上述评判标准(1)。遗 摄动方法是使用最为广泛的解析近似方法，已成功 憾的是，其高阶线性子问题之解一般用幂级数表达， 求解了科学和工程中的许多非线性问题。本质上，摄动 但众所周知，幂级数的收敛半径通常是有限的，因此 方法将非线性方程之解按某个物理小参数展开为无穷级 其收敛性一般无法保证。值得强调的是，所有传统的 数，并以该物理小参数为基础进行量级分析，将原始非 “非摄动方法”都没有提供一个方便、有效的途径， 线性问题转化为一系列线性子问题。这里，物理小参数 确保解析近似级数收敛到