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大学生数学竞赛(微积分).pdf
2011 年数学竞赛辅导(part.3 一元函数积分学) 宁波大学数学系 解烈军
第三部分 积分
竞赛大纲
不定积分和定积分的计算,定积分的应用 (面积、体积)和广义积分。
一. 不定积分
n 第一换元法
n 第二换元法
Ê ax+ b ˆ
n
根式代换: R x, ax+ b dx或者 R x, n dx
Ú ( ) Ú Á ˜
Á cx+ d ˜
Ë ¯
三角代换: 被积函数中含有因子 代换方法
2 2
x - a x = asec q 或 x = acsc q
2 2
x + a x = atan q 或 x = acot q
2 2
a - x x = asin q 或 x = acos q
倒代换:一般地,当被积函数中分子和分母最高次相差大于 1 时候,可以考
虑用倒代换 x = 1 .
t
n 分部积分法 被积函数为两不同类型函数乘积
dx
例 1:Ú cos 3+ x sin 5 + x . 08 年经管竞赛题,12分
( ) ( )
cos x
dx
例 2:Ú sinx sinx+ cos x . 04 年经管、文专竞赛题,15分
( )
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2011 年数学竞赛辅导(part.3 一元函数积分学) 宁波大学数学系 解烈军
9
x
例 3: Ú 5 dx .07 年经管、文专竞赛题,12 分
x + 1
dx
例 4:Ú 2 .
1+ x 2 + x- x
( )
xln xdx
例 5:Ú 2 3 2 .
(1 + x )
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2011 年数学竞赛辅导(part.3 一元函数积分学) 宁波大学数学系 解烈军
dx
例 6:Ú
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