大学生数学竞赛(微积分).pdf

2011 年数学竞赛辅导(part.3 一元函数积分学) 宁波大学数学系 解烈军 第三部分 积分 竞赛大纲 不定积分和定积分的计算，定积分的应用 (面积、体积)和广义积分。 一. 不定积分 n 第一换元法 n 第二换元法 Ê ax+ b ˆ n  根式代换： R x,  ax+ b dx或者  R x, n  dx  Ú ( )  Ú Á ˜ Á cx+ d ˜ Ë ¯ 三角代换： 被积函数中含有因子 代换方法  2 2  x - a x = asec q 或 x = acsc q 2 2  x + a x = atan q 或 x = acot q 2 2  a - x x = asin q 或 x = acos q 倒代换：一般地，当被积函数中分子和分母最高次相差大于 1 时候，可以考 虑用倒代换 x = 1  . t n 分部积分法 被积函数为两不同类型函数乘积 dx  例 1：Ú cos 3+ x sin 5 + x .  08 年经管竞赛题，12分 ( ) ( )  cos x  dx  例 2：Ú sinx sinx+ cos x . 04 年经管、文专竞赛题，15分 ( )  第 1 页 共 16 页 2011 年数学竞赛辅导(part.3 一元函数积分学) 宁波大学数学系 解烈军 9 x  例 3： Ú 5  dx .07 年经管、文专竞赛题，12 分 x + 1  dx  例 4：Ú 2  . 1+ x 2 + x- x ( )  xln xdx  例 5：Ú 2  3 2  . (1 + x )  第 2 页 共 16 页 2011 年数学竞赛辅导(part.3 一元函数积分学) 宁波大学数学系 解烈军 dx  例 6：Ú