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奥数 六年级竞赛 数论(一).教师版word.doc
学而思教育 六年级 数学 竞赛123班 教师版 第 5讲 Page PAGE 7of NUMPAGES 7
第 5讲
数论(一)
)
教学目标
数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密,但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.
本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.
专题回顾
一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数.
现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手.
5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989.
已知是一个四位数,若两位数是一个质数,是一个完全平方数,是一个质数与一个不为的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是_____________.
本题综合利用数论知识,因为是一个质数,所以不能为偶数,且同时是一个完全平方数,则符合条件的数仅为、,当时,满足是一个质数的数有,,,,,时,此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积,只有符合;
当,满足是一个质数的数有,,,,,,此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积,只有符合.
专题精讲
分解质因数
个连续的自然数之和为,若、、、都是质数,则的最小值是多少?
遇到等量关系的表述时,先将其转化为数学语言.设这个连续自然数中最小的一个是,则最大的一个是(遇到多个连续自然数问题,转化时一般均采用假设法,自己需要的量,题目中没有时,可以设未知数),则它们的和是:
,则是质数,所以的最小值是.的最小值是:.
101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的??,那么这个最小的和应该是_______.
设这个自然数中最小的数为,则101个连续自然数的和为:
+(+1)+(+2)+……+(+100)
=(++100)×1012=(+50)×101
因为101是质数,所以+50必须是3个质数的乘积,要使和最小.
经检验+50=66=2×3×11最小,所以和最小为66×101=6666.
已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△,其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字,那么四位数〇△□☆是多少?
因为□△□△□△□△,所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△.作质因数分解得,由此可知该数分解为个两位数乘积的方法仅有.注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现,所以△□=,□〇=,☆△=.即〇=,△=,□=,☆=,所求的四位数是.
为自然数,且,、……、与690都有大于l的公约数.的最小值为_______.
,连续9个数中,最多有5个是2的倍数,也有可能有4个是2的倍数,
如果有5个连续奇数,这5个连续奇数中最多有2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数,所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数,即与690没有大于l的公约数.
所以9个数中只有4个奇数,这个数中,有2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数,则、、、、是偶数,剩下的4个数中、是3的倍数(5个偶数当中只有是3的倍数),还有、一个是5的倍数,一个是23的倍数.
剩下的可以用中国剩余定理求解,是2和3的倍数,且相邻两个数中一个是23的倍数,另一个是5的倍数,显然是最小解,所以的最小值为19.
约数、倍数
已知,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,甲乙两数不是288和4中的数,那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?
设甲乙两个数为,,(和都不等于1或72),则,两数互质,于是,的最小公倍数为,所以,,由于,互质,所以或不可能在,的因子中都出现,所以,一个是一个是,所以两数的乘积等于,和为.
有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:⑴说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?⑵如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数.
⑴首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对.不然,其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对,这样就
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