§2.4.1抛物线及其标准方程案例.doc

第  PAGE 4 页 共  NUMPAGES 4 页 §2.4.1抛物线及其标准方程案例 高二数学 吕文刚 一、教学目标 1.知识与技能目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。 2.过程与方法目标：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法。通过本节课的学习，提高学生观察，类比，分析和概括的能力。 ??3.情感态度与价值观目标：通过本节的学习，让学生体验数学的美，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。 二、教学重点和难点 重点：抛物线的定义和标准方程． 难点：抛物线的标准方程的推导；抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。 三、教学方法 启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法 四、教具准备 多媒体 五、教学过程 1.引入： 生活中的抛物线（图片及动画展示）；这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程. 2.抛物线的定义： 如图所示，把一块直尺固定在图上直线l的位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征？ 这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等.曲线即为初中见过的抛物线. 现在我们一起归纳抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.下面根据抛物线的定义来求其方程，大家先想想一般求曲线方程的步骤.(建系、设点、立方程、化简) 3.抛物线的标准方程：（怎样建立坐标系，使得方程最简单？） 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=-. 设动点M（x,y），由抛物线定义得： 化简得： y2=2px(p＞0) 通过比较可以看出，第种方法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是（,0），准线方程是x=- 4.探究抛物线其他形式的标准方程： 在求椭圆、双曲线标准方程是，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？完成下表（可正常推导，也可以通过图象对称得到） 图形开口方向标准方程焦点坐标准线方程向右 y2=2px(p＞0) （,0） x=-向左 y2=-2px(p＞0) （-,0） x=向上 x2=2py(p＞0) （0,） y=-向下 x2=-2py(p＞0) （0,-） y= 5.抛物线方程特点：（“三看” 抛物线的标准方程） （1）从形式上看：方程左边为二次式，系数为1；右边为一次项，系数为. （2）从焦点、准线上看：焦点落在对称轴上，准线与对称轴垂直；且原点到焦点与准 线的距离相等，均为 (3)从一次项上看：一次项确定焦点、准线及开口方向；一次项系数为焦点非零坐标的4倍. 左下负，右上正;谁一次，焦点在谁上，准线与它垂直.一次变量定焦点,开口方向看正负. 6.例题： 例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1） （2） （3） （4） 解:(1) ∵ p=10，∴ 焦点坐标是, 准线方程是 (2) ∵ p=，∴ 焦点坐标是, 准线方程是 (3) ∵ ，∴ 焦点坐标是, 准线方程是 (4) ∵ ，∴ 焦点坐标是, 准线方程是 总结：①求抛物线的焦点时一定要先把抛物线化为标准形式；②先定位，后定量。 例2： 1、已知抛物线的标准方程是(1)y2=-6x,(2)x2=6y, 求它的焦点坐标和准线方程 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是(0,4); (2)经过点A(-3,2); (3)焦点在直线4x-3y-12=0上; (4)焦点为椭圆x2+4y2=4的顶点. 3、抛物线x2=4y上一点M的纵坐标为4,则点M与抛物线焦点的距离为 . 7.当堂检测： （1）（2011四川卷文3）抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A． 1 B．2 C．4 D．8 （2）（2011上海卷理3文8）动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 . 8.课堂小结：