平面向量共线的坐标表示自学指南.doc

平面向量共线的坐标表示教学设计 【知识梳理】 平面向量的坐标运算： 若，则 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 向 量 的 减 法三角形法则 向 量 的 乘 法是一个向量, 满足: 0时,与同向; 0时,与异向; =0时, = ∥ 【疑难探究】 平面向量共线的坐标表示公式的推导 [问题情境] 设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中1，则∥ (1)的充要条件是什么？ [问题探究]设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中1，由∥ (1)得：=λ， 即 (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，得x1y2-x2y1=0； [问题情境1]消去λ时为什么不能用两式相除？ [问题探究1]∵y1， y2有可能为0，故消去λ时不能两式相除； [问题情境2]为什么规定1？ [问题探究2]因零向量与任意向量平行，故规定1；∵1 ∴x2， y2中至少有一个不为0，从而保证1； [问题情境3] 为什么∥ (1)的充要条件不能写成？ [问题探究3] ∥ (1)的充要条件不能写成， ∵x1， x2有可能为0。 [结论归纳] ∥ (1)（向量共线）的充要条件是： ∥ 1)。 【典例探究】 知 识 点题 型平面向量共线的坐标表示公式及充要条件1、运算2、证明3、综合应用典例1若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x。 [典例探究]直接用公式可求解。 [典例研析] ∵＝(-1，x)与＝(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x?(-x)＝0 ∴x=± ∵与方向相同 ∴x= [典例感悟] 用公式∥ 1)比上节课用解方程组的方法要简单明了。 典例2 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？ [典例探究]要判断两直线的位置关系，可运用公式∥ 1)来判断。 [典例研析]∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥ 又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×610 ∴与不平行，∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD [典例感悟]平面向量的共线与平面几何的平行是有区别的，前者包括平面几何的平行与重合。 典例3 设坐标平面上有三点A、B、C，ｉ，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝ｉ－2j，＝ｉ＋ｍj，那么是否存在实数ｍ，使A、B、C三点共线。 [典例探究] 可以假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线∥ 存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索 [典例研析]解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线，即∥， ∴存在实数λ，使＝λ， ｉ－2j＝λ（ｉ＋ｍj）， ∴ｍ＝－2 ∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线 解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：ｉ＝（1，O），j＝（O，1） ∴＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2）， ＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ）， 由A、B、C三点共线，即∥， 故1·ｍ－1·（－2）＝O解得ｍ＝－2 ∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线 [典例感悟] (1)共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择；(2)本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时；对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明。 典例4 如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O [典例探究] 对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明。 [典例研析] 解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则C(y2) 则 ∵ 与共线 ∴ 即 （*） 而 代入（*）式整理得，y1·y2=-p2 因为 ∴ 与是共线向量，即A、O、C三点共线， 也就是说直线AC经过原点O 解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2) 欲证A、O、C共线，只需且仅需，即，又 ∴ 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明 [典例感悟]两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问