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新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识 初一数学基础知识讲义 第一讲 和绝对值有关的问题 知识结构框图： 数 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：，，且， 那么 的值（ C ） A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号 解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x0，y0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x、y在原点左侧，即 x0，y0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x0，y0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程 的解的个数是（ D ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。 例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值． 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2 于是 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 . （2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离 可以表示为 ． 分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。 当x-1时，距离为-x-1, 当-1x0时，距离为x+1， 当x0，距离为x+1 综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为 （3）结合数轴求得的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3≤x_≤2______. 分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。 即x与-3