高考数学(理)三轮复习专家讲坛由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题选编.doc

由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题 一、由递推公式求通项的7种方法 1．an＋1＝an＋f(n)型 把原递推公式转化为an＋1－a n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)． [例1]　已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝an＋eq \f(1,n2＋n)，求an. [解]　由条件，知an＋1－an＝eq \f(1,n2＋n)＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))， 所以an??a1＝1－eq \f(1,n). 因为a1＝eq \f(1,2)，所以an＝eq \f(1,2)＋1－eq \f(1,n)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,n). 2．an＋1＝f(n)an型 把原递推公式转化为eq \f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由eq \f(a2,a1)＝f(1)，eq \f(a3,a2)＝f(2)，…，eq \f(an,an－1)＝f(n－1)，累乘可得eq \f(an,a1)＝f(1)f(2)…f(n－1)． [例2]　已知数列{an}满足a1＝eq \f(2,3)，an＋1＝eq \f(n,n＋1)·an，求an. [解]　由an＋1＝eq \f(n,n＋1)·an，得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)， 故an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(n－1,n)×eq \f(n－2,n－1)×…×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3n).即an＝eq \f(2,3n). 3．an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型 对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)，比较系数可知t＝eq \f(q,p－1)，可令an＋1＋t＝bn＋1换元即可转化为等比数列来解决． [例3]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an. [解]　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3. 故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)． 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝2. 所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3. 4．an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型 (1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得eq \f(an＋1,qn＋1)＝eq \f(p,q)·eq \f(an,qn)＋eq \f(1,q)，引入辅助数列{bn}eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中bn＝\f(an,qn)))，得bn＋1＝eq \f(p,q)·bn＋eq \f(1,q)，再用待定系数法解决； (2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得eq \f(an＋1,pn＋1)＝eq \f(an,pn)＋eq \f(1,p)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q,p)))n，引入辅助数列{bn}eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中bn＝\f(an,pn)))，得bn＋1－bn＝eq \f(1,p)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q,p)))n，再利用叠加法(逐差相加法)求解． [例4]　已知数列{an}中，a1＝eq \