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高阶导数(13p)选编
二、高阶导数的运算法则
第三节
一、高阶导数的概念
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高阶导数(13)
第二章
一、高阶导数的概念
速度
即
加速度
即
引例:
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定义.
或
即
或
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
或
记作
依次类推 ,
分别记作
则称
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称二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
设
求
解
依次类推 ,
例1.
思考:
问
可得
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特别地 ,
时
例2. 设
求
解
特别有:
解
规定 0 ! = 1
思考:
例3. 设
求
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例4. 设
求
解
… 一般地 ,
类似可证:
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例5. 设
求使
存在的最高
分析:
但是
不存在 .
2
又
阶数
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二、高阶导数的运算法则
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
莱布尼兹(Leibniz) 公式
推导 目录 上页 下页 返回 结束
…………. 用数学归纳法可证明莱布尼兹公式成立 .
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例6.
求
解 设
则
代入莱布尼兹公式 , 得
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(P102例8)
内容小结
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法
—— 利用已知的高阶导数公式
(4) 利用莱布尼兹公式
高阶导数的求法
如,
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(5)重要的 n 阶导数的公式:
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思考与练习
如何求下列函数的 n 阶导数?
解:
解:
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(3)
提示:
去分母得恒等式:
令 x=2 得
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令 x=1 得
令
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