0010算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题讲述.docx

问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 ? ? ??问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准 HYPERLINK /base/31 \o 算法与数据结构知识库 \t /liufeng_king/article/details/_blank 算法计算出矩阵连乘积。 ? ? ? ?完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： ? ? ?（1）单个矩阵是完全加括号的； ? ? ?（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) ? ? ? ?例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 ? ? ? 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次 ? ? ? 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。? ? ?? ? ? ??算法思路： ? ? ? 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： ? ? ? A1：30*35; ? ? A2：35*15; ? ? A3：15*5; ? ? A4：5*10; ? ? A5：10*20; ? ? A6：20*25? ? ? ??递推关系： ? ? ??设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。 ? ? ? 当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n? ? ? 当ij时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=kj,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个??置使计算量达到最小的那个位置。 ? ? ? 综上，有递推关系如下： ? ? ??INCLUDEPICTURE \d /uploads/201301/13/1358061539_5348.jpg \* MERGEFORMATINET ? ?? ? ? ??构造最优解： ? ? ? 若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。 ? ? ??1、穷举法 ? ? ??列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。 ? ? ??对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下： ? ? ??INCLUDEPICTURE \d /uploads/201301/13/1358060658_4224.jpg \* MERGEFORMATINET  ? ? ? 以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一