第3章多维随机变量及其分布测试题答案.doc

第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分） 1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x1《xx2,y1yy2]内的概率为___ ____ _ ． 3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则，应满足的条件是; 当 ， 时与相互独立． （1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）P1/61/91/181/3 4．设二维随机变量的密度函数,则__ ____. 5．设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为，设A=（Xb）与B=（Yb）相互独立，且,则b=____ _. 6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于”的概率为_ _ . 7． 设X和Y为两个随机变量，且,则_ . 8．随机变量,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9．设,则 85 ， 37 . 10．设随机变量 ,则 108 . 二、单项选择题（每题4分） 1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. . . . . 2．设平面区域D由曲线及直线围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）． ． ． ． ． 3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）． ．随机变量X,Y都服从一维均匀分布 ．随机变量X,Y不一定服从一维均匀分布 ．随机变量X,Y一定都服从一维均匀分布 ．随机变量X+Y服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）． ．X与Y不相关 ． ．X与Y相互独立 ． 5．在上均匀地任取两数X和Y，则（ D ）． ．1 ． ． ． 三、计算题（第一题20分，第二题24分） 1．已知 (1)确定a,b的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y的概率分布. 解：(1)由正则性有， 有， (2)(X,Y)的联合分布律为 Y X-3-2-1124/53954/539216/539212/53927/539108/53938/53918/53972/539 (3) X-Y的概率分布为 X-Y-2-1012P24/53966/539251/539126/53972/539 设随机变量(X,Y)的密度函数为 (1)确定常数k； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求. 解：（1）∵ ∴ ∴k=12 （2） ∴ （3） 3．设随机变量X,Y相互独立，且各自的密度函数为，，求Z=X+Y的密度函数 解：Z=X+Y的密度函数 ∵在x≥0时有非零值，在z-x≥0即x≤z时有非零值 ∴在0≤x≤z时有非零值 当z0时， 所以Z=X+Y的密度函数为 4．设随机变量X,Y的联合密度函数为，分别求下列概率密度函数. (1) ; (2) . 解：（1）因为 所以即X与Y独立. 所以当z0时， 当z≥0时， 所以 (2) 当z0时， 当z≥0时， 所以 5．设随机变量X,Y相互独立,其密度函数分别为，，求. 解：因为X,Y相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以 6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为，求X和Y的边际密度函数. 解： 四、证明题. 1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X与Y不相关，但X与Y不独立. 证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0 所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X与Y不相关. 又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X与Y不独立. 2．设随机变量(X,Y)满足,证明. 证明：因为 所以 所以 由柯西施瓦兹不等式有 所以 又