第5版：概率统计习题全解同济大学高等教育出版社重点题型.doc

习题一 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，，试用表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； 只有两次抽到废品。 解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 6. 接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和。 解 习题二 10．已知，，，求 (1),；(2)；(3)；(4)；(5). 解 (1)，； (2)； (3)； (4), ; (5) 习题三 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记{该球是红球}，{取自甲袋}，{取自乙袋}，已知，，所以 (2) 7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。 解 12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记 {命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则 ，因而 习题四 12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记 {命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则 ，因而 7. 设随机变量，已知，求与的值。 解 由于，因此。 由此可算得 即 解得； 此时，。 13. 设随机变量X的密度函数为，求：（1）系数；（2）；（3）X的分布函数。 解 （1）系数必须满足，由于为偶函数，所以 解得； （2）； （3） = = = = 习题五 3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下： X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。 解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为，Y可能取的值也为，且 或写成 X\Y0101（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为 或写成 X\Y01015. 对于第3题中的二维随机变量的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。 解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X01概率Y的边缘分布律为 Y01概率在无放回情况下X的边缘分布律为 X01概率Y的边缘分布律为 Y01概率12. 设二维随机变量的联合密度函数为 求：（1）系数；（2）；（3）证明X与Y相互独立。 解 （1）必须满足，即，经计算得； （2）； （3）关于X的边缘密度函数 = 同理可求得Y的边缘密度函数为 易见，因此X与Y相互独立。 习题六 3. 设X的密度函数为 求以下随机变量的密度函数：（1）；（2）；（3）。 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果为单调可导函数，则也可利用性质求得。 （1）解法一：设，则Y的分布函数 = = 解法二：，，而，则 = = （2）设，则，Y的密度函数 = （3）设，由于X只取中的值，所以也为单调函数，其反函数，因此Y的密度函数为 = 5. 设随机变量X服从正态分布，试求随机变量的函数的密度