第二节分布函数(Distributionfunction)数学期望(Expectation(金融计量_浙大蒋岳祥.doc

PAGE  PAGE 17 上课材料之三： 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation) 与方差(Variance) 本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。 一、概率(Probability) 1、概率定义(Definition of Probability) 在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。 随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。 频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。 对于一个随机事件A，用一个数P（A）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P（A）就称为随机事件A的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。 对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。 概率的定义 定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率，如果它满足如下三个条件： （i）P（A）≥0，对一切F （ii）P（Ω）=1； （iii）若，i=1,2…，且两两互不相容，则 性质（iii）称为可列可加性（conformable addition）或完全可加性。 推论1：对任何事件A有； 推论2：不可能事件的概率为0，即； 推论3：。 2、条件概率(Conditional Probability) 如果P（B）＞0，记，称P（A|B）为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 转化后有：如果（P（A）＞0），称为概率的乘法原理。 推广后的乘法原理： 其中＞0。 3、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式 设事件A1，A2，…，An……是样本空间Ω的一个分割，即AiAj=φ，i≠j，??且：。 从而，这里AiB也两两互不相容。 则。 这个公式称为全概率公式。 由于 故 再利用全概率公式即得 这个公式称为贝叶斯公式。 贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用，假定A1，A2，…是导致试验结果的“原因”，P（Ai）称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件B，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”，条件概率P（Ai|B）称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识。 4、事件(Random event)独立性(Independence) 1）两个事件的独立性 定义 对事件A及B，若 P（AB）=P（A）P（B） 则称它们是统计独立的，简称独立的。 推论1 若事件独立，且P（B）＞0，则 P（A|B）=P（A） [证明]由条件概率定义 因此，若事件A，B相互独立，由A关于B的条件概率等于无条件概率P（A），这表示B的发生对于事件A是否发生没有提供任何消息，独立性就是把这种关系从数学上加以严格定义。 推论2 若事件A与B独立，则下列各对事件也相互独立：  [证明] 由于 所以与B相互独立，由它立刻推出与相互独立，由又推出A，相互独立。 2）多个事件的独立性 定义 对n个事件A1，A2，…，An，若对于所有可能的组合1≤i＜j＜…≤n成立着 则称A1，A2，…An相互独立。 这里第一行有个式子，第二行有个式子，等等，因此共应满足 个等式。 二、随机变量(Random Variable)和概率分布函数(Probability Distribution Function) 1、随机变量(Random Variable) 如果A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系： 这样试验的结果就能有一个数来表示，这个数是随着试验的结果的不同而变化，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。 2、概率分布函数（p.d.f=probability density function） 称F（x）=P{＜x}，＜x＜为随机变量的分布函数cdf，对于连续型随机变量，存在可能函数f(x)，使 ，f（x）称为随机变量的（分布）密度函数（density function）。 3、随机向量（