经典趣味数学题-分油问题的一般性求解.doc

经典趣味数学题—分油问题的一般性求解 分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。它有很多种表述版本。例如， 版本1：日本分油问题。有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各 一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升。. 版本2：法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题： 某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品 脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中。 版本3：我国的韩信分油问题：韩信遇到两个路人争执不下，原因是两人有装满10斤的油 ¨和两个3斤、7斤的空油¨，无法平均分出两份，每份5斤油。韩信是如何解决这个难题的？ 版本4：史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述：有装有14千克酒的容器，另外有可装5 千克和9千克酒的容器，要把酒平分，该如何办？ 版本5：别莱利曼在《趣味几何学》???表述：一只水桶，可装12杓水，还有两只空桶，容 量分别为9杓和5杓，如何把大水桶的水分成两半？ 解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法。 这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分。 （一）分析思路 我们注意到这类题有几个共同的特点： （1）三个容器N!，N2，N按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N；得到 的油M是小于N的自然数。 （2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不是互素的要简单一些）。 （3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满。 （4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M也是正整数。 （5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油；容器N2得到大 于N1小于等于N2的油 所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。 方程列为 N2·X+N1·Y=M 其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个 特例。 与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y取正值，也可取负值。正值表示 倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满，负值表示从满油小容器倒出的次数。 如果方程有多解，需要寻找一个最优解。 X和Y的绝对值越小，表明倒油的次数越少，表明是一个最优解。 有了这个解，就可以用来帮助我们完成分油过程。 中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去。 具体如何实现只需要费一点点脑筋。 （二）平均分油实例 （1）日本分油问题的不定方程是：5X+3Y=4 解为：X=2，Y=-2 步 数 8升容器 5升容器 3升容 器 0 8 0 0 1 3 5（+1） 0 2 3 2 3（-1） 3 6 2 0 4 6 0 2 5 1 5（+1） 2 6 1 4 3（-1） 7 4 4 0 7步完成日本分油问题。 （2）我们来解泊松分酒问题。列方程8X+5Y=6 我们得到的解为：X=2,Y=-2，这是一个最优解。 也就是从最大容器倒满8升容器2次，5升容器装满后倒出2次进入最大的容器，就会得到 来两个6升。 步 数 12品脱容器 8品脱容器 5品 脱容器 0 12 0 0 1 4 8（+1） 0 2 4 3 5（-1） 3 9 3 0 4 9 0 3 5 1 8（+1） 3 6 1 6 5（-1） 7 6 6 0 由此，7步解决分油问题。 （3）韩信分油的不定方程是：7X+3Y=5;解为：X=2,Y=-3 步 数 10斤油¨ 7斤油¨ 3斤 油¨ 0 12 0 0 1 3 7（+1） 0 2 4 4 3（-1） 3 6 4 0 4 6 1 3（-1） 5 9 1 0 6 9 0 1 7 2 7（+1） 1 8 2 5 3（-1） 9 5 5 0 9步完成韩信分油问题。 （4）史泰因豪斯问题的不定方程为：9X+5Y=7，解为：X=3,Y=-4 步 数 14千克容器 9千克容器 5千 克容器 0 14 0 0 1 5 9（+1） 0 2 5 4 5（-1） 3 10 4 0 4 10 0 4 5 1 9（+1） 4 6 1 8 5（-1） 7 6 8 0 8 6 3 5（-1） 9 11 3 0 10 11 0 3 11 2 9（+1） 3 12 2 7 5（-1） 13 7 7 0 共13步完成分油问题 注意，在大容器等于两小容器且均分的案例中，分油步骤等于X绝对值与Y绝对值之 和的2倍减1。 这可以判断出实际操作中你是否完成了最简的分油步骤。 （5）别莱利曼问题的不定方程为：9X+5Y=6，解为：X=-1,Y=3 步 数 12千克容器 9千克容器 5千 克容器 0 12 0 0 1 7 0 5（+1） 2 0 7 5 3 5 7 0 4 5 2 5（+1） 5 10 2 0 6 10 0 2 7 1 9（-1） 2 8 1 6 5（+1） 9 6 6