《概率论与数的理统计答案》第五章.pdf

第五章 习题参考答案与提示 第五章 数理统计初步习题参考答案与提示 1.在总体 中随机抽取一长度为 36 的样本，求样本均值)3.6,52(~ 2NX X 落 50.8 到 53.8 之间的概率。 答案与提示：由于 )/,(~ 2 nNX σµ ，所以 {50.8 53.8} 0.8293P X = 。 2.在总体 中随机抽取一长度为 100 的样本，问样本均值与总体均 值的差的绝对值大 3的概率是多少？ )20,8(~ 2NX 答案与提示：由于 2~ ( , /X N nµ σ )，所以 { 8 3} 0.1336P X − = 3．设 为来自总体nXXX ,,, 21 )(~ λPX 的一个样本， X 、 分别为样本均值 和样本方差。求 2S XD 及 。 2ES 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。 2,DXDX ES n n λ λ= = = 。 4 ． 设 是 来 自 正 态 总 体 的 随 机 样 本 ， 。试确定 、b使统计量 4321 XXXX ，，， )30( 2，N 2 43 2 21 )32()2( XXbXXaX −+−= a X 服从 分布，并指出其自 由度。 2χ 答案与提示：依题意，要使统计量 X 服从 分布，则必需使 及 服从标准正态分布。解得 2χ )2( 21 2/1 XXa − )32( 43 2/1 XXb − a = 1/45；b = 1/117。 5．设 X 和Y独立同分布 和 分别是来自N ( )0 32， ， 921 XXX ，，， 921 YYY ，，， X 和Y的简单抽样，试确定统计量U X X Y Y = + + + + 1 1 2 9 2 9 所服从的分布。 答案与提示：应用 t分布的定义，得 U X X Y Y = + + + + 1 9 1 2 9 2 ~ ( )t 9 6．设随机变量 ~ ( )X t n ( 1n )，试确定统计量 2 1Y X = 所服从的分布。 答案与提示：先由 t分布的定义知 n V UX = ，再利用 F分布的定义即可。 —1— 课 后 答 案 网 w ww .k hd aw .c om 第五章 习题参考答案与提示 )1,(~12 nFX Y = 。 7.设总体 X 服从正态分布 ，而 是来自总体)2,0( 2N 1521 ,,, XXX X 的简单随 机样本，试确定随机变量 )(2 215 2 11 2 10 2 1 XX XXY ++ ++ = 所服从的分布。 答案与提示：由于 ， )10(~10/)4/4/( 2210 2 1 χXX ++ )5(~5/)4/4/( 2215 2 11 χXX ++ ， 故 )5,10(~ )(2 215 2 11 2 10 2 1 F XX XXY ++ ++ = 8．设 为来自正态总体 的一个样本，nXXX ,,, 21 ),(~ 2σµNX µ已知，求 的极大似然估计。 2σ 答案与提示：设 为样本 的一组观察值。则似然函数 为 nxxx ,,, 21 X X Xn1 2， ， ， ∏ = − − = n i xi eL 1 2 )( 2 2 2 2 1) σ µ σπ σµ，（ ( ) = ∑− − =( )1 2 2 2 1 2 2 2 1 πσ σ µn x e i i n ， 得 的极大似然估计为 2σ ∑ = −= n i ixn 1 22 )(1ˆ µσ 。 9．设 )1,(~ µNX ， 为来自正态总体nXXX ,,, 21 X 的一个样本，试求µ的极 大似然估计及矩估计。 答案与提示：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估 计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知） 总体的某（几）种矩，由于本题只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩 即可。极大似然估计可依据四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。 µ的极大似然估计为 1 1ˆ n i i X n µ = = ∑ 。 µ的矩估计为 1 1ˆ n i i X n µ = = ∑ 。 10．设 为来自正态总体的一个样本，求下述各总体的密度函数中 的未知参数的矩估计及极大似然估计。 nXXX ,,, 21 （1） ⎩ ⎨ ⎧ + = ,,0 ,10,)1( ),( 其它 xx xf θθ θ 其中 1−θ 为未知参数。 —2— 课 后 答 案 网 w ww .k hd aw .c om 第五章 习题参考答案与提示 （2） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ =