课时作业13高三数学第2轮.doc

课时作业13　空间向量与立体几何 ——A级　基础巩固类—— 1．(2015·新课标全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE＝2DF，AEEC. (1)证明：平面AEC平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 解：(1)连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB ＝1. 由ABC＝120°，可得AG＝GC＝. 由BE平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC， 又AEEC，所以EG＝，且EGAC. 在RtEBG中，可得BE＝，故DF＝. 在RtFDG中，可得FG＝. 在直角梯形BDFE中， 由BD＝2，BE＝，DF＝， 可得EF＝. 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EGFG. 又AC∩FG＝G，可得EG平面AFC. 因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC. (2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G—xyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F(－1,0，)，C(0，，0)，所以＝(1，，)，＝(－1，－，)． 故cos〈，〉＝＝－. 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为. 2．(2015·陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2. (1)证明：CD平面A1OC； (2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． 解：(1)在图1中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，BAD＝，所以BEAC. 即在图2中，BEOA1，BEOC， 从而BE平面A1OC， 又CDBE，所以CD平面A1OC. (2)由已知，平面A1BE平面BCDE， 又由(1)知，BEOA1，BEOC， 所以A1OC为二面角A1—BE—C的平面角， 所以A1OC＝. 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BCED，所以B(，0,0)，E(－，0,0)，A1(0,0，)，C(0，，0)，得＝(－，，0)，＝(0，，－)，＝＝(－，0,0)． 设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ. 则得取n1＝(1,1,1)； 得取n2＝(0,1,1)， 从而cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝， 即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为. 3．(2015·北京卷)如图，在四棱锥A—EFCB，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC＝4，EF＝2a，EBC＝FCB＝60°，O为EF的中点． (1)求证：AOBE； (2)求二面角F—AE—B的余弦值； (3)若BE平面AOC，求a的值． 解：(1)因为AEF是等边三角形，O为EF的中点， 所以AOEF. 又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF， 所以AO平面EFCB.所以AOBE. (2)取BC中点G，连接OG. 由题设知EFCB是等腰梯形，所以OGEF. 由(1)知AO平面EFCB， 又OG平面EFCB，所以OAOG. 如图建立空间直角坐标系O—xyz， 则E(a,0,0)，A(0,0，a)，B(2，(2－a)，0)，＝(－a,0，a)， ＝(a－2，(a－2)，0)． 设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝1，则x＝，y＝－1.于是n＝(，－1,1)． 平面AEF的法向量为p＝(0,1,0)． 所以cos〈n，p〉＝＝－. 由题知二面角F—AE—B为钝角，所以它的余弦值为－. (3)因为BE平面AOC，所以BEOC，即·＝0. 因为＝(a－2，(a－2)，0)，＝(－2，(2－a)，0)， 所以·＝－2(a－2)－3(a－2)2. 由·＝0及0a2，解得a＝. ——B级　综合能力类—— 1．已知PA平面ABCD，CDAD，BAAD，CD＝AD＝AP＝4，AB＝1. (1)求证：CD平面ADP； (2)M为线段CP上的点，当BMAC时，求二面角C—AB—M的余弦值． 解：(1)因为PA平面ABCD，PA平面ADP， 所以平面ADP平面ABCD. 又因为平面ADP∩平面ABCD＝AD，CDAD， 所以CD平面ADP. (2)AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A(0,0,0)，B(0,0,1)，C(4,0,4)，P(0,4,0)，则＝(0,0,1)，＝(4,0,4)，＝(0,4,0)，＝(4，－4,4)． 设M(x，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)，