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专题14.2 极坐标与参数方程(解析版) 第十四章 选讲部分 专题2 极坐标与参数方程（理科） 【考点1】极坐标 【备考知识梳理】 1.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴； 再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)， 这样就建立了一个极坐标系(如图)． (2)极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为?；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的?xOM叫做点M的极角，记为?.有序数对??,??称为点M的极坐标，记作M??,??． 一般地，不做特殊说明时，我们认为??0，?可取任意实数． 2.极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的 长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： ?x,y?和??,??（??0） 3 1 / 25 若圆心为M0,0，半径为r的圆方程为?20cos?0?0?r?0. 4.注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角?时，易忽视判断点所在的象限(即角?的终边的位置)． （2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标??,?? ，??,??2k???k?Z?， ???,????2k???k?Z?表示同一点的坐标． 【规律方法技巧】 1.确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2.极坐标与直角坐标的互化 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x??cos?及y??sin?直接代入并化简即可； 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如?cos?，?sin?， ?2的形式，进行整体代换． (3)直角坐标?x,y?化为极坐标??,??的步骤 ??2?x2?y2 y?tan??①运用?②在内由0,2??x?0?求?时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． ??yx?tan???x?0?x? (4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． 3.求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P??,??是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径?和极角?之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 4.注意：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交 2 / 25 点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【考点针对训练】 1.【2016届江西省萍乡市高三下学期第二次模拟】在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴 1?#39;x?x??建立极坐标系，由曲线C1:y2?x上的点(x,y )按坐标变换?2得到曲线C2. ?y#39;?? （1）求曲线C2的极坐标方程； （2）若射线??? 3(??0)和???与曲线C2的交点分别为点A,B，求|AB|. 1?#39;1x?x??#39;?2??x?x?2，即?【解析】（1 ）?，代入C1:y2??x，得y#39;2?2x#39;?1，即曲线C2的方程为y2?2x?1. ?y?y#39;?y#39;?? ??2 由x??cos?,y??sin?，所以C2的极坐标方程为?2sin2??2?cos??1，即?? 式也可） （2）将??1.（未化简，保留上1?cos?? 3(??0)代入??1?11，得??2，即|OA|?2，A(2,)，???代入??，得??，1?cos?31?cos?2 即|OB|?11，B(,?). 所