费马猜想问题-方根与方程的解.doc

PAGE  PAGE 2 费马猜想问题——方根与方程的解 王 德 忱 著 （黑龙江省农业科学院 黑河分院） 费马猜想：“一个高于2次的幂分为两个同次的幂”这是不可能的，也就是n＞2的一个幂zn不能等于两个幂xn、yn之和；或者没有正整数使zn=xn+yn等式成立，即是zn=xn+yn没有zxy≠0的正整数解。表面理解这两类表述是一个意思。其实不然，两者混淆了概念的性质，失之毫厘谬以千里，导致这一问题的解决步入歧途，成为了几百年的老大难。 当n是大于1的正整数时，zn方根是“z”，zn-1方根是“z”，一个非负实数的非负n次方根是唯一性的。虽然可以给出zn=xn+yn等式，而等式右边确定是一个幂，等式左边不过是这个幂分项表达的形式，等式左边无论如何变化都不能改变等式右边原幂的性质；所以费马猜想的实质是正整数方根问题。 一个幂zn=Z无疑能分为两个正整数之和，存在zn=xn+Y（Y为常数）等式成立。例如：z3=x3+387，(z-x)(z2+xz+x2)=387=3×129=…用约数分析法解方程组：z=8、x=5。这里的z=8是方程的解，还不是z3=83=512的方根，方根的“z”与z3=x3+387方程解的“z”量是相同的但质是有根本区别的。 对于zn=xn+Y可能存在正整数解，但不是一定有正整数解，现即定有正整数解设Y=AC，根据约数分析法得约数式和余约数式： z–x=C……………………………………………(1) zn-1+xzn-2+ x2zn-3+…+xn-2z+xn-1=A………………(2) 解(1)式、(2)式方程组可得z、x，就z=x+C只是方程zn=xn+Y的一个解，当z=x+C确定是zn=(xn+Y)方根约数式时才为幂“zn”的一个方根。依据方程同解乘方定理zn=xn+Y、zn=(x+C)n同是z=x+C方根的结果方程，同约去z=x+C后得： zn-1+xzn-2 x2zn-3+…+xn-2z+(xn-1-A)=0……………(3) zn-1-(x+C)n-1=0……………………………………(4) 根据方根性质定理必应该有(3)式f(z)≡(4)式g(z)，由多项式恒等定理关于“z”非首项系数（首项系数均为1）对应相等： x=0，x2=0，…，xn-2=0，(xn-1-A)=-(x+C)n-1 n＞2至少存在一项关于“z”非首项系数对应相等，x=0，常数项A=Cn-1，AC=Cn=Y。由(1)式、(2)式z=C，于是zn=xn+Cn=0n+Cn。这 说明，zn=xn+Y的Y如果是一个正整数幂yn=Cn却必有xn=0才能使zn=(0n+yn)等式右边幂的性质不变，从而zxy≠0正整数zn=xn+yn???式不成立，费马猜想成立。 附论：n=2为什么有正整数解？因为对应系数等式只存在常数项：2x=A-C。如果Y=y2=AC，(A，C)=1，令A=a2、C=c2得：y=ac、x=(a2-c2)| 2、z=(a2+c2)| 2；(A，C)＞1，(1)式除以(2)式为1+(2x)|(z-x)=A| C，其中(x，z-x)=1，只有使z-x即C与A含2公因子，令A=2a2、C=2c2得：y=2ac、x=a2-c2、z=a2+c2。