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轻松寒假，快乐复习30天 第10天 空间角及距离（非向量法） ★思路点睛 一．求二面角的平面角的基本方法： 1.定义法（点P在棱上） 2.三垂线定理法（点P在一个半平面上），此法关键是找出线面（二面角中的某个）垂直，再过线上的点做棱的垂线。 3.垂面法（点P在二面角内）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。（或棱不出现，仅有一个交点出现时，过该交点存在两平面的公共垂面，公共垂面与原来两平面形成的角为二面角的平面角） 4.射影面积法: 5.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 6.向量法（下节作业） 二．求空间距离的常用方法：直接法、转化法、体积法、找垂面法、向量法。 三．注意事项：一定要注意各角的范围，两条异面直线所成的角θ?（0，π2]；线面角θ?[0，π2];斜线与平面所成角θ?（0，π2）；二面角θ?[0，π]。 ★典型试题 1．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：如图： 在正四棱锥中，连接AC与BD相交于一点O，连结OE，由于是的中点，所以OE//SD，故AEO即为直线所成的角；易知AOE是直角，又侧棱长与底面边长都相等，设棱长为2，则A0=，OE=1，AE=，所以有：cosAEO=; 故选C． 2．正方体，棱长为4，点到截面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：点到截面的距离为正方体的对角线的，即. 3．在长方体中，．若分别为线段， 的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：取的中点G，连接EG、FG、，容易证明为直线与平面所成角，设AB=a，则，在三角形中可求出，在三角形中可求出，所以在三角形中可求出，答案选C. 4.正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则下列命题中，错误的是( ) A．O－ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD C．直线AD与OB所成的夹角为45° D．二面角D－OB－A为45° 【答案】B 【解析】构造图形，把此正四面体放在正方体中。可以判断A，C，D为真命题，直线OB与平面ACD相交，所以B为假命题． 5．在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，ab，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当时，二面角C—EF—B的平面角的余弦值等于（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，CE=BE=，当时，CB=。 为所求平面角，由余弦定理得cos。选C。 6．在正方体ABCD-ABCD中，AC和AB成角为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：由题意可得：在正方体ABCD-ABCD中，AC和AB成角即为AC和AB所成角，所以是. 7．到正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点： ①有且只有1个； ②有且只有2个； ③有且只有3个； ④有无数个． 其中正确答案的序号是________ 【答案】④ 【解析】注意到正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线B1D上的每一点到直线AB，CC1，A1D1的距离都相等，因此到ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是④. 8．已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为 ． 【答案】 【解析】设B到面EFG的距离为h， 由于， 所以 另一方面，， 所以，[来源:学科网] 得即为B到平面GEF的距离。 9.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为１的菱形，∠BCD＝600，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）平面PBE与平面PAB的位置关系是 ． （2）平面PAD和平面PBE所成的二面角（锐角）的大小为 ． 【答案】（1）垂直；（2） 【解析】 解：延长相交于点，连结.过点作于,由（1）知平面平面，所以平面.在中，因为,所以. 在等腰中,取的中点,连接.则.连结.由三垂线定理的逆定理得，.所以是平面和平面所成的二面角的平面