通信原理(陈启兴版)第十章课后习题答案.doc

第10章 正交编码与伪随机序列 10.1 学习指导 10.1.1 要点 正交编码与伪随机序列n的编码中码元只取值+1和-1x和y是其中两个码组：…, xn)，y = (y1, y2, …, yn)，其中，xi, yi ∈ {+1, -1}，i = 1, 2, …, n，则码组 如果码组x和y正交，则r(x, y) = 0。两两正交的编码称为正交编码。一个长为n的码组x自相关系数定义为 中，x的下标按模n运算，即xn＋k o xk。在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和“1”表示码元的可能取值。若规定用二进制数字“0”代替上述码组中的“1”，用二进制数字“1”代替“1”，则x和y互相关系数定义为 中， x和y中对应码元相同的个数x和y中对应码元不同的个数。都为0采用二进制数字0”和1”表示码元若用x的j次循环移位代替y，就得到x的自相关系数rx (j)。一个长为n的码组x…, xn)，则y = (x1 + j, x2 + j, …, xn, x1, x2, …, xj)。根据上式计算出码组x和y互相关系数x的自相关系数。 显然，无论是采用二进制数字0”和1”表示码元采用二进制数字和1”表示码元互相关系数若两个码组间的相关系数r 0，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任两码组间均超正交，则称这种编码为超正交码。超正交码 由正交编码和其反码构成的编码就是双正交编码。例如，4个码组：x1 = (+1, +1, +1, +1)，x2 = (+1, +1, -1, -1)，x3 = (+1, -1, -1, +1)，x4 = (+1, -1, +1, -1)，其反码为：y1 = (-1, -1, -1, -1)，x2 = (-1, -1, +1, +1)，x3 = (-1, +1, +1, -1)，x4 = (-1, +1, -1, +1)。这8个码组构成的编码就是双正交编码，任意两个码组之间的互相关系数r为0或-1。 2．常见的正交编码 常见的正交编码有Hadamard码矩阵、Walsh矩阵和伪随机序列等。 Hadamard码矩阵是法国数学家M. J. Hadamard于1893年首先构造出来的一种方阵，仅由元素+1和1构成，而且其任意两行(列)H矩阵。H矩阵的最低阶数为2，即 为了简便起见，把上式中的＋1和－1简写为＋和－，上式就表示为 阶数为2的高阶H矩阵从下列递推关系得出 k为正整数，是直积运算。上式的直积是指将矩阵H / 2中的每一个元素用矩阵H2代替 H2矩阵、H4矩阵和H8矩阵都是对称矩阵，而且第一行和第一列的元素全为“＋”，我们把这样的H矩阵称为Hadamard码矩阵的正规形式，或称为正规Hadamard码矩阵。 在H矩阵中，交换任意两行或两列，或改变任一行或列中每个元素的符号，都不会影响矩阵的正交性质。因此，正规H矩阵经过上述各种交换或改变后仍为H矩阵，但不一定是正规的了。 按照递推关系式可以构造出所有2k阶的H矩阵。可以证明，高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数。不过，以4的倍数作为阶数是否一定存在H矩阵，这一问题并未解决。 H矩阵是正交方阵。把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种长为n的正交编码，它包含n个码组。因为长度为n的编码共有2n个不同码组，只将这n个码组作为用码组，其余(2n - n)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编码在纠错编码理论中称为Reed-Muller码。 其中，j = 0,1,2, …, q = 0或1，[j/2]表示j/2的整数部分。 为了便于理解，做以下几点说明： 当把Wal(j, t)改成Wal(j, 2t)时，表示保持波形相对形状不变，只是将时基从-1/2 ≤ t ≤ 1/2压缩到-1/4 ≤ t ≤ 1/4； 当把Wal(j, 2t)改成Wal[j, 2(t ± 1/4)]时，表示保持波形相对形状不变，只是将波形向左(对应“+”号)或向右(对应“-”号)平移 1/4。 例如，Wal(5, t)应该根据Wal(2, t)递推出来，此时，k = 5, j = 2, q = 1, [j/2] = 1。 其中， 前八个Walsh函数中的任意两个函数都是正交的。将前N个Walsh函数在等距的N个点抽样，再将抽样值写成矩阵形式，即得N × N矩阵。例如，N = 8时，可以得到8 × 8矩阵： 如果把Walsh矩阵的每一行作为一个码组，就得到Walsh编码。 伪随机序列 一方面，由于随机噪声的存在，通信系统的性能会变坏；另一方面，有时为了达到特殊的目的，通信系统中又需要噪声，比如必威体育官网网址通信中，让有用信号隐藏在随机噪声之中，以达到防止有用信号被截获。相同的随机噪声难以重复产生，这给通