重庆大学现代控制工程_第五章李雅普诺夫稳定性分析.doc

PAGE 1 6-PAGE 11 第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz稳定判据、Nquist判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描??），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定性) 说明： 所谓有界是指如果一个函数，在时间区间中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数，使得对于所有的，恒有成立。 所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统的传递函数矩阵为 当且仅当极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为 ， 试分析系统的外部稳定性。 解：系统为SISO系统，传递函数为 由于传递函数的极点位于s左平面，故系统是外部稳定的。 二、内部稳定性 对于线性定常系统 　　　，　 　　　　　 如果外部输入，初始条件为任意，且由引起的零输入响应为 　　　　　 满足 　　　　　 则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。 说　明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。 【例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为 ， 试分析系统的内部稳定性。 解：该系统为线性定常系统，其特征方程为： 　　　 于是系统的特征值为，，故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。 三、内部稳定性与外部稳定性的关系 １、若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（BIBO稳定）的。 2、若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定是等价的。 §6-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念 一、自治系统 没有外界输入作用的系统叫自治系统。 自治系统可用如下的显含时间的状态方程来描述 ， ，………………………… (6-1) 其中为维状态向量。为线性或非线性、定常或时变的维向量函数。假定方程的解为，式中和分别为初始状态向量和初始时刻，那么初始条件必满足。 如果系统为线性系统，则(6-1)方程中的为的线性向量函数，或按习惯表示为： ， ，………………………… (6-2) 二、平衡状态 设控制系统的齐次状态方程为： ， ， 对于所有，如果存在某个状态，满足： 则称为系统的一个平衡点或平衡状态。 平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。若已知系统状态方程，令所求得的解，便是平衡状态。 在大多数情况下，（状态空间原点）为系统的一个平衡状态。当然，系统也可以有非零平衡状态。如果系统的平衡状态在状态空间中表现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态。对于孤立平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，所以在下面的讨论中，假定原点即为平衡状态。 所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在平衡状态的附近。 线性定常系统，其平衡状态满足，只要A非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态；当A为奇异矩阵时，有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。对于非线性系统，的解可能有多个，由系统状态方程决定。 三、李雅普诺夫意义下稳定 设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的闭球域内，即 若能使系统方程的解在的过程中，都位于以为球心、任意规定的半径为的闭球域