随机变量和其分布函数习题.doc

 PAGE 16 第2章 随机变量及其分布 习题 2 1．设有函数 试说明能否是某随机变量的分布函数。 解： 不能，易知对，有： 又，因此在定义域内必为单调递增函数。 然而在上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。 2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。在筐中同时取3只，以表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量的分布列。 解：的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中任取3个共有种取法。 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有种取法，故 。 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有种取法，故 ， 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有种取法，故 ， 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有种取法，故 。 3. 设服从分布，其分布列为 求的分布函数，并作出其图形。 解：服从（0-1）分布，其分布律为： 0 1当时， 当时， 当时， 即有： （没有图 。。。） 4．将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次中得到的小的点数，试分别求与的分布列。 解 以分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为 故X的分布列如下： X23456789101112P 1/362/363/364/365/366/365/364/363/361/351/36Y的取值为1,2,3,4,5,6 Y的分布列为： Y123456P11/369/367/365/363/361/36 5．试求下列分布列中的待定系数k （1） （2） （3）为常数。 解：（1）由分布列的性质有 ， 所以 （2）由分布列的性质有 ， 所以 。 或解 由 所以服从几何分布， 故有 。 （3）由分布列的性质有 ， 所以 。 6．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p失败的概率为。 （1）将试验进行到出现一次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布列。（此时称服从以p为参数的几何分布。） （2）将试验进行到出现r次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布列。（此时称服从以r,p为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。以表示他首次投中时累汁已投篮的次数，写出的分布列，并计算取偶数的概率。 解（1）此试验至少做一次，此即X可能值的最小值。若需做k次，则前k-1次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为 。 此试验至少做r次，若需做k次，则第k次比为成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为 。 先写出X的分布律。它是题（1）中p=0.45的情形。所求的分布律为 。因故X取偶数的概率为. 7．有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取4个球，求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数的分布列。 解：分为以下两种情况，即从甲袋中取一球放入乙袋，取出的球为白球的概率为，黑球为。 假设取出的是白球，乙袋此时为4白球2黑球。从中取出4球，黑球数可为0,1,2，概率如下 , , . 假设取出的是黑球，乙袋此时为3白球3黑球，从中取出4球，黑球数可为1,2,3.概率如下 , , . 综合以上两种情况，又已知从甲袋取出为白球的概率为，黑球是.所以 分布列为 X0123 8. 设服从 Poisson 分布，且已知，求。 解：由于即X的分布律为 于是有由条件可得方程 解得(舍去) 所以于是(查表)。 9．一大楼装有5套同类型的空调系统，调查表明在任一时刻t每套系统被使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2套系统被使用的概率是多少? （2）至少有3套系统被使用的概率是多少? （3）至多有3套系统被使用的概率是多少? （4）至少有1套系统被使用的概率是多少？ 解： 以表示同一时刻被使用的设备的个数，则 。 所求的概率为 。 所求的概率为 所求的概率为 所求的概率为 10. 在纺织厂里一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率是0