高中数学第9章9.3圆的方程.docxVIP

§9.3　圆的方程 1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 3．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中(a，b)为圆心，r为半径． 4．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F0，其中圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2). 5．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程． 6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.(　√　) (4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　×　) (5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).(　×　) 1．x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 答案　D 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∴圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为(2，－3)． 2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．－1a1 B．0a1 C．a1或a－1 D．a＝±1 答案　A 解析　∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)24，∴－1a1. 3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．a－2或aeq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)a0 C．－2a0 D．－2aeq \f(2,3) 答案　D 解析　由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0， 解得－2aeq \f(2,3). 4．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________． 答案　(x－2)2＋y2＝10 解析　设圆心坐标为(a,0)， 易知eq \r(?a－5?2＋?－1?2)＝eq \r(?a－1?2＋?－3?2)， 解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为eq \r(10)， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 题型一　求圆的方程 例1　根据下列条件，求圆的方程． (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)． 思维点拨　(1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解． (2)求圆心和半径，确定圆的标准方程． 解　(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P、Q两点的坐标分别代入得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，,3D－E＋F＝－10.))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(①,,②)) 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0. (2)方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得eq \f(4x0－2,3－x0)＝1， ∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2eq \r(2)， 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)