2016江苏高考数学模拟填空压轴集锦教程.doc

13．如图，椭圆C：+=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|?|PF2|=6，则|PM|?|PN|的值为6． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】数形结合；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及|PF1|?|PF2|=6，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到|PM|?|PN|=a2+4﹣|OM|2=a2+4﹣x02﹣y02，代入横纵坐标的平方和后整理得答案． 【解答】解：设P（x0，y0）， ∵P在椭圆上，∴+=1，则y02=4（1﹣）， ∵|PF1|?|PF2|=6，∴（a+ex0）（a﹣ex0）=6，e2=， 即x02=， 由对称性得|PM|?|PN|=a2+4﹣|OP|2=a2+4﹣x02﹣y02 =a2+4﹣﹣4+=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题． 13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]． 考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可． 解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2， ∴此时函数f（x）单调递增， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴函数f（x）在R上单调递增， 若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立， 则x+a≥3x+1恒成立， 即a≥2x+1恒成立， ∵x∈[a，a+2]， ∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5， 即a≥2a+5， 解得a≤﹣5， 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]； 故答案为：（﹣∞，﹣5]； 14．设实数b，c满足b2+c2=1，且f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，则a+b+c的取值范围是． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用． 专题：导数的综合应用． 分析：先利用辅助角公式和b2+c2=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x）=a+cos（x+φ）， 根据f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k1=f′（m）=a+cos（m+φ），k2=f′（n）=a+cos??n+φ），则[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（m+φ）=1，cos（n+φ）=﹣1或者cos（m+φ）=﹣1，cos（n+φ）=1，代入到[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1，求出a=0，将a+b+c的取值范围转化为求b+c的取值范围，根据b2+c2=1，利用基本不等式，求出bc的范围，结合（b+c）2=b2+c2+2bc=1+2bc，即可求出b+c的取值范围，从而得到a+b+c的取值范围． 解答： 解：∵f（x）=ax+bsinx+ccosx ∴f（x）=ax+sin（x+φ）， ∵b2+c2=1， ∴f（x）=ax+sin（x+φ）， ∴f′（x）=a+cos（x+φ）， ∵f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直， 设在x=m与x=n处的切线互相垂直， 则k1=f′（m）=a+cos（m+φ），k2=f′（n）=a+cos（n+φ）， ∴k1?k2=﹣1， 即[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1， ∴关于a的二次方程a2+[cos（m+φ）+cos（n+φ）]a+cos（m+φ）cos（n+φ）+1=0有实数根， ∴△=[cos（m+φ）+cos（n+φ）]2﹣4×[cos（m+φ）cos（n+φ）+1]=[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2﹣4≥0， 又∵﹣2≤cos（m+φ）﹣cos（n+φ）≤2， ∴[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2≤4，即[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2﹣4≤0， ∴[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2﹣4=0 ∴cos（m+φ）=1，cos（n+φ）=﹣1或者cos（m+φ）=﹣1，cos（n+φ）=1， ∵[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1， ∴a2﹣1=﹣1， ∴a=0， 根据基本不等式，则有b2+c2=1≥2=2|bc|（当且仅当b=c时取等号）， ∴1≥2|bc|，即