2016版高考数学大二轮总复习增分策略专题二函数与导数第4讲导数的热点问题试题教程.doc

PAGE 1 PAGE 18 第4讲　导数的热点问题 (2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)证明：f(x)1. 利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大. 热点一　利用导数证明不等式 用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力． 例1　已知函数f(x)＝－ln x＋x－3. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：在(1，＋∞)上，f(x)＋20； (3)求证：eq \f(ln 2,2)×eq \f(ln 3,3)×eq \f(ln 4,4)×…×eq \f(ln n,n)eq \f(1,n)(n≥2，n∈N*)． 　 思维升华　用导数证明不等式的方??? (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①?x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)，②对?x1，x2∈[a，b]，且x1x2，则f(x1)f(x2)．对于减函数有类似结论． (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对?x∈D，则f(x)≤M(或f(x)≥m)． (3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)0. 跟踪演练1　已知函数f(x)＝aln x＋bx(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y－2＝0. (1)求a，b的值； (2)当x1时，f(x)＋eq \f(k,x)0恒成立，求实数k的取值范围． 热点二　利用导数讨论方程根的个数 方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解． 例2　　设函数f(x)＝eq \f(x,e2x)＋c，e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R. (1)求f(x)的单调区间、最大值． (2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数． 思维升华　(1)函数y＝f(x)－k的零点问题，可转化为函数y＝f(x)和直线y＝k的交点问题． (2)研究函数y＝f(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势． 跟踪演练2　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围． 　 　 　 　 热点三　利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优． 例3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 　 　 思维升华　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)作答：回归实际问题作答． 跟踪演练3　将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝eq \f(?梯形的周长?2,梯形的面积)，则s的最小值是________． 已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝eq \f(ln x,x)，其中e是自然常数，a∈R. (1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)＋eq \f(1,2)； (3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 　 　 提醒：完成作业　专题二　第4讲 二轮专题强化练 专题二 第4讲　导数的热点问题 A组　专题通关 1．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示