上8：《描述量变到质变的数学—微积分》李学生讲述.docx

 PAGE \* MERGEFORMAT 17 主题8 描述量变到质变的数学—微积分换新颖的名字 同学们，我们学习过圆的面积公式，大家想过没有这个公式如何给出严格证明？椭圆的面积如何计算？球的体积如何计算？在物理学中我们知道位移函数，利用上一节的导数可以求速度函数，我们是否想到过相反的问题——如果知道速度函数如何求位移函数？学习了微积分这些问题都可以得到解决，不过由于中学阶段对于这个内容要求比较低，我们只能解决个别问题，我们在本书中再列举几个问题.引入生活化和趣味化一些，插图 【数学史话】 微积分的发展历史简要回顾删内容，1500字 微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代.在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子.在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子·天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想.但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽.他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元.刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积.用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14.大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）、祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一.其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，即西方所谓的“卡瓦列利原理”.并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题. 欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题，较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的“穷竭法”，他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积，但他的方法并没有被数学家们所接受.后来安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善.之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题.他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法.他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较.但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的.平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形. 微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后，1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒.一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题.这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段. 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题，有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作. 德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法.他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一. 开普勒和卡瓦列里也研究过这个过程，由于过程比较复杂，在这里略去. 17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积