专题九-几何计算与证明专题训练讲述.doc

第  PAGE 15 页 共  NUMPAGES 15 页 重庆市徐悲鸿中学初2015级专题训练 几何计算与证明专题 几何题中的计算与证明，中考中占非常重要的地位，它重点考查学生的观察推理、分析问题和解决问题的能力。从历年重庆中考试题来看，这类题目难度较大，需要添加辅助线才能完成，属于较难题。常考的知识点具有综合性，通常包括全等三角形、特殊三角形、四边形、线段垂直平分线和角平分线性质和判定等相关知识。 第1课时 证明线段相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1 已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF. 思路分析：首先想到证明DE和DF所在的三角形△DEG≌△DFC，但差一个全等的条件，结合已知AB=AC，DB=DC，自然会想到作辅助线AD来搭桥。 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例2. 如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KH∥BC 分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。 中考演练 1．已知，如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上一点且AE=CF. 求证：DE=DF. 2．已知，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC. 求证：FD⊥ED. 3．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90o，∠CAB=30o，分别以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE， (1)如图1，连接线段BE、CD，求证：BE=CD； (2)如图2，连接DE交AB于点F，求证：EF=DF. 图1 图2 4．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60o，E是BC延长线一点，F是对角线AC上一点，AF=CE，连接BF、EF， (1)若AB=4，点F是AC的中点，求BF的长；(2)若点F是AC边上任意一点(不与A、C重合)，求证：BF=EF. 5．在Rt△ABC中，∠ACB=90o，点D为AB的中点，连接CD，点E为AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG. (1)求证：EF=CF；(2)求证：FG⊥DG. 第2课时 线段的和差问题的证明（截长补短法） 在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例1（截长法）已知：如图所示，在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。求证：AC＝AE＋CD 。 分析：在AC上截取AF＝AE。易知△AEO≌△AFO，可得∠1=∠2；由∠B=60 o ，知∠5+∠6=60 o ，∠1=60 o ，∠2+∠3=120 o ，故∠1=∠2=∠3=∠4=60 o，从而得△FOC≌△DOC，所以FC=DC. 例2. （补短法）已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。 求证：EF＝BE＋DF 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。 中考演练 1．如图，△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，交BC于点F，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE. 2．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H， (1)若AB=10，DH=6，求HE的长；(2)求证：AH=CE+EH. 3．如图，等边△ABC中，点E、F分别是AB 、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边△EPQ，连接FQ、EF； (1)若等边△ABC的边长为20，且∠BPE=45o，求等边△EPQ的边长； (2)求证：BP=EF+FQ. 4．在四边形ABCD中， AC、BD是对角线，且AB=AC，∠ABD=6