数学建模chapter2.ppt

第二章 初 等 模 型;; 问题的提出 ; 问题 某学校有3个系，共200名学生，其中甲系有学 生100名，乙系有学生60名，丙系有学生40名。现拟成 立有20人组成的学生会，问应如何分配学生会名额？; 甲系： ；; 假设学生会成员数上升到21人，问应该如何分配？; 从中可以看出这样的分配方案并不合理. 作为丙系的 代表是不会接受这样的分配方案的.; 模型的建立; 所谓公平原则指的是: 每个席位在各自的集体中所代 表的人员数希望是相等的.; 建模;对公平的: 若不相等，则“绝对不公平度”为;集体名; 在上面的例子中，绝对不公平度都相等:; 当 时， 吃亏，称; 解模; ⑵把下一个席位分配给 使 吃亏，即; ⑷把下一个席位给 使 吃亏，这是不可能的。; 若 ，即;则在⑵⑶的情况下，席位应分配给 值大的那一方。;因而把席位分配给 符合上面的原则.; 再回到本节一开始的问题，此时 ;而 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由 此得到余下的席位的分配情况（具体分配见下表）.;序号;序号;;二、双层玻璃窗的功效; 问题的提出 在北方城市的某些建筑中，玻璃窗是用 双层玻璃构成的，并且两层玻璃之间还留有一定的空 隙。其作用是减少热量的流失。假定玻璃窗的厚度为 ， 今建立一个相应的数学模型来讨论这个问题，并与一个 厚度为 的玻璃窗进行热量流失的比较。; 模型假设; 建模; 记双层窗内层玻璃的外侧温度是 ，外层玻璃的内侧 温度是 ，玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数 为 ，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热 量流失）为;即：;所以：;再注意到，厚度为 的单层玻璃窗的热传导过程为;不流动、干燥空气的热传导系数为; 比值 反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的功 效。它只与 有关。下图给出了 曲线， 当 上升时， 迅速下降；而当 到达一定值后， 下降趣缓。由此可见， 不必过大。; 模型应用;;三、四足动物的身材; 问题的提出; 模型假设; 建模; 比值 是动物的相对下垂度。 太大，四肢将无法支;在该假定之下，有;四、汽车的刹车距离; 问题的提出; 问题分析;而这个距离远大于一个车身平均长度（15英寸=4.6m）. 所以“两秒准则”与上述规则并不一致. 为此，我们需要 对刹车距离作仔细的分析.; 制动距离与制动器作用力、车速、车重及道路、气候 等因素有关. 设计制动器的一个合理原则是: 最大制动 力与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数. 基于以上分析，我们可以做这样的一些假设:; 模型假设; 建模;其中 由假设1刹车距离为;车速;出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较。; 模型的应用;五、扬帆远航; 问题的提出; 风的推力分解成 其中 与帆垂直， 与帆平行. 又分解成 为风在航向上的推 力, 风的阻力 分解成 其中 为风在航向上 的阻力，因为 与 的方向正好相反，所以船受到的 净推力为;净推力在正东方向的分力达到最大.; 模型假设; 4.航速 与净推力 成正比，比例系数为;⑷; 解模;在⑹式对 求导, 并令其为令, 则有;由⑴式，记;即; 结果分析;;六、量纲分析法; 量纲分析法是20世纪初提出的在物理领域中建立数学 模型的一种方法。它通过物理定律中的量纲齐次原则， 确定各物理量之间的关系，最终建立相应的数学关系， 从而得到对应问题的数学模型.; 许多物理量是有量纲的。有些物理量的量纲是基本的， 我们把它们称为“基本量纲”；而某些量纲是由这些量纲 组成的，因而把它们称为“复合量纲”