数学建模-绪论[经济数学建模课件[西安交通大学戴雪峰].ppt

数学建模;教学参考书：;数学建模课后作业 ;绪 论;1、原型（Prototype）与模型（Model）;模型可分为;数学模型： 对一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据其内在规律（数量依赖关系），做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构（数学表达形式）。;理想的数学模型必须具有可靠性和适用性。数学模型没有固定的格式和标准;建立数学模型的方法：;2、建立数学模型的一般步骤;用框图表示：;3、数学模型的分类;分类标准;二、数学建模示例;例1：“椅子问题”：在日常生活中，有一个很普通的事实，把四条腿的椅子往不平的地面上一放，通常只有三条腿着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就可以使四条腿同时着地，放稳了。这个看来与数学无关的现象，能用数学语言给予描述（建立数学模型），并用数学工具证实吗？;模型假设：;模型构成：用数学语言把椅子四条腿同时着地的条件和结论表示出来，;;记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，所以 ， 、 为连续函数，椅子在任何位置至少有三条腿同时着地，所以对 中至少有一个为零。当时 ，不妨设 。;问题可归纳为如下数学命题：;模型求解：（证明方法不唯一）;评注：这个模型的巧妙之处就在于用一元变量 表示出椅子的位置，用 的两个函数表示椅脚与地面的距离。而利用正方形为中心对称和旋转 ，并不是本质的。;请同学们思考：;下面再举一个建模及分析过程的一个典型例子，说明数学建模的思路。在具体实例的建模过程中会有这样那样的区别，但总体思路不会有太大的偏差。;例2：雨中行走问题 在雨中行走，一个似乎很简单的事实是，为了减少雨淋的时间你应该在雨中尽快地走，但是如果考虑降雨方向的变化，在全部距离上尽力快跑不一定是最好方案，现试组建数学模型来探讨如何在雨中行走，才能减少雨淋的程度。;分析：这一问题的主要因素有：;为了简化问题的研究，假设：;（设在雨中行走的距离D米，行走的时间t秒，速度v米/秒，身高h米，宽度w米，厚度d米，身体被淋雨水总量c升，降雨强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）I厘米/时。）;①先讨论最简单的情形：;雨中行走的距离D，身体被淋雨水的面积S（ ）是不变的，视为参数。而行走的速度v，时间t以及降雨强度I在问题中可调节、分析，视为变量。;模型中的参数可由观测和调查资料获得。;按照建模的程序，需回到对问题所作假设，推敲这些假设是否恰当。发现不考虑降雨角度的影响的假设把问题过于简单化了。;如图所示，因为雨滴是迎面落下，由经验可知，被雨水淋湿的部位仅仅是顶部和前方，所以淋在身上的雨水分为两部分计算。;顶部的面积wd，雨滴的垂直速度分量 ，淋在顶部的雨量： 。;在此模型中， 为变量， 为雨滴下落的方向。于是问题就变为：给定 ，如何选择 ，使得c最小。;情形1： ，表明c是v的减函数，只有当v取到最大时，c最小。;情形3：;③按雨中行走速度分成两种情况：;带入数据 表明c是v的减函数（此时设 ，取等号时c达到最小），当以速度 行走时，c可化简为它表明仅仅淋湿头顶部位。;;b: 情形：即行走速度快于雨滴的水平速度.;综上，结论为：;三、数学建模与能力的培养;一些简单实例;例1：某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？;例2：某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。;;;例5：将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。;;;例6：某公交线路在A、B两地间运行，每隔10分钟A、B各发出一班车，某人常在离家最近的C点等车，他发现了一个奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由B去A的车，难道由B去A的车