第4章 插值法综述.ppt

第4章 插值法 ;§1 插值问题; 这里 a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b 欲选择一个函数φ(x),使得 φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n (4―2) 作为函数y=f(x)的近似表达式。 ; 由于代数多项式具有形式简单,便于计算,且在某些情况下与给定的函数有较好 的逼近的特性,人们很早就用它去近似地表示复杂的函数或由表格给出的函数。 若仅限于求函数在x=x0附近的近似值,一个熟知的办法就是将f(x)在x=x0处 展成泰勒级数,即 ; 取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即 ;§2 线性插值与二次插值 ; 现要用一线性函数 φ(x)=P1(x)=ax+b (4―3) 近似地代替f(x)。按照插值原则,式(4―2)应有 ; 代入式(4―3)得 ; 因为P1(x)就是经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线方程,所以线性插值的几何意义为用经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线近似地代替曲线y=f(x),见图4.1。 ; 2.2 二次插值 二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项式插值之一。设已知函数f(x)的三个互异插值基点x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示: ; 现要构造一个二次函数 φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c (4―6) 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2) P2(xi)=yi, i=0,1,2,… (4―7) 由(4―7)式得 ; 由于方程组(4―8)中x0,x1,x2互异,则 ; 图 4.2 ;§3 代数多项式插值的存在唯一性 ; 这样的多项式是否存在并且唯一呢?回答是肯定的。 根据插值原则式(4―10),代数多项式(4―9)中的各个系数a0,a1,…,an应满足下列n+1阶线性方程组 ; 其中未知量a0,a1,…,an的系数行列式为范德蒙特(Vander Monde)行列式 ;§4 代数多项式的余项 ; 我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余项。显然有 Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n 下面给出插值多项式Pn(x)余项的表达式。 定理设函数f(x)在区间［a,b］上具有n+1阶导数, Pn(x)为次数不高于n的多项式,且 Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1  … Pn(xn)=yn ; 则对插值区间上的任何x,都存在ξ∈(a,b),使得 ; 上式右端第一项f(t)有n+1阶导数,第二项是次数不高于n的多项式,当x取某一定 值时,第三项是变量t的n+1次多项式,因此F(t)有n+1阶导数。又在区间［a,b］上,F(t)有n+2个零点 t=x,x0,x1,…,xn 应用洛尔(Rolle)定理,在(a,b)内至少有ξ0,ξ1,…,ξn使得 F′(ξi)=0,i=0,1,2,…,n 如此反复应用洛尔定理,可知在(a,b)内至少存在一点ξ使得 F(n+1)(ξ)=0; 于是可得到公式(4―12)。 利用公式(4―12)可以给出用多项式Pn(x)近似代替f(x)的误差估计。这里还得说明几点: (1)插值多项式本身只与插值基点及f(x)在这些基点上的函数值有关,而与函数f(x)并没有关系。但余项Rn(x)却与f(x)联系很紧。 ;